Question

преобразовать выражение

$\frac{ \cos(5) + \cos(85) + \sin(75) + \sin(15) }{4 \sqrt{2} \cos(5) \sin(55) }$
​

Answer 1

Ответ:

Для упрощения данного выражения, мы можем воспользоваться формулами сложения тригонометрических функций:

cos(α) + cos(β) = 2 * cos((α + β) / 2) * cos((α - β) / 2)

sin(α) + sin(β) = 2 * sin((α + β) / 2) * cos((α - β) / 2)

В данном случае:

cos(5) + cos(85) = 2 * cos((5 + 85) / 2) * cos((85 - 5) / 2) = 2 * cos(45) * cos(40)

sin(75) + sin(15) = 2 * sin((75 + 15) / 2) * cos((75 - 15) / 2) = 2 * sin(45) * cos(30)

Также, cos(5)sin(55) = 2 * sin(55) * cos(5)

Теперь, подставим это в исходное выражение:

(2 * cos(45) * cos(40) + 2 * sin(45) * cos(30)) / (2 * sin(55) * cos(5))

Теперь можно упростить выражение:

2 * (cos(45) * cos(40) + sin(45) * cos(30)) / (2 * sin(55) * cos(5))

Упрощаем дальше:

(cos(45) * cos(40) + sin(45) * cos(30)) / (sin(55) * cos(5))

Теперь, используем значения тригонометрических функций для углов 30, 40, 45 и 55 градусов:

(cos(45) * cos(40) + sin(45) * cos(30)) / (sin(55) * cos(5))

(√2/2 * (√3/2) + √2/2 * (√3/2)) / ((√6/2) * (√2/2))

Теперь вычисляем числитель и знаменатель:

(√6/4 + √6/4) / (√12/4)

Складываем числитель:

(2√6/4) / (√12/4)

Упрощаем дробь:

(2√6) / √12

Теперь можно упростить выражение, деля числитель и знаменатель на √6:

(2√6) / (√6 * √2)

2 / √2

Итак, выражение упростилось до:

2√2

Таким образом, результат равен 2√2.