Question

Доказать, что для любого натурального n выполняется равенство:

Answer 1

$\displaystyle \frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{4}\left(\frac{n}{2n-1}+\frac{n}{2n+1}\right)=\\\\=\frac{1}{4}\left(\frac{n-0.5+0.5}{2n-1}+\frac{n+0.5-0.5}{2n+1}\right)=\\\\=\frac{1}{8}\left(2+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$

Когда мы сложим много таких слагаемых с различными n, у нас первые слагаемые много раз сложатся, а вот вторые и третьи почти везде уничтожат друг друга. Останется только

$\displaystyle \frac{1}{2\cdot1-1} = 1$

и

$\displaystyle-\frac{1}{2n+1}$

Поэтому в итоге сумма первых n слагаемых будет равна

$\displaystyle\frac{1}{8}\left(2n+1-\frac{1}{2n+1}\right)= \frac{1}{8}\frac{4n^2+4n}{2n+1} = \frac{n(n+1)}{2(2n+1)}$