Question

Напишите подробно решение, пожалуйста. Я дорешала до cos3пх=0, а дальше не уверена как :(

Answer 1

Решение .

$\bf tg\pi x\cdot cos\pi x=sin\pi x+cos\, 3\pi x\ \ ,\ \ \ x\in [\, 0\, ;\, 1\ ]\\\\\dfrac{sin\pi x}{cos\pi x}\cdot cos\pi x=sin\pi x+cos\, 3\pi x\ \ ,\\\\ODZ:\ \pi x\ne \dfrac{\pi }{2}+\pi n\ \ ,\ \ x\ne \dfrac{1}{2}+n\ ,\ n\in Z\\\\sin\pi x=sin\pi x+cos\, 3\pi x\\\\cos3\pi x=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 3\pi x=\dfrac{\pi }{2}+\pi n\ \ ,\ n\in Z\ \ ,\\\\x=\dfrac{1}{6}+\dfrac{n}{3}\ \ ,\ n\in Z$  

Определим, какие решения принадлежат сегменту  [ 0 ; 1 ] .    

Будем придавать целые значения  n  и  вычислять значение  х  .

$\bf n=-1\ \ \Rightarrow \ \ \ x=\dfrac{1}{6}+\dfrac{-1}{3}=-\dfrac{1}{6}\notin [\, 0\, ;\, 1\, ]\\\\\\n=0\ \ \Rightarrow \ \ \ x=\dfrac{1}{6}+\dfrac{0}{3}=\dfrac{1}{6}\in [\, 0\, ;\, 1\, ]\\\\\\n=1\ \ \Rightarrow \ \ \ x=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}\notin ODZ\\\\\\n=2\ \ \Rightarrow \ \ \ x=\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{6}\in [\, 0\, ;\, 1\, ]\\\\\\n=3\ \ \Rightarrow \ \ \ x=\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{3}=\dfrac{7}{6}\notin [\, 0\, ;\, 1\, ]$  

Получили, что  два  корня из ОДЗ принадлежат отрезку  [ 0 ; 1 ] . Это

$\bf x_1=\dfrac{1}{6}\ \ ,\ \ x_2=\dfrac{5}{6}\ \ .$