Question

Решите, пожалуйста, подробно, используя формулу синуса двойного угла

Answer 1

Решение .

Формула синуса двойного угла :   $\bf 2\cdot sin\alpha \cdot cos\alpha =sin\, 2\alpha$  .

$\bf 16\, sin10^\circ \cdot sin30^\circ \cdot sin50^\circ \cdot sin70^\circ =$  

Домножим и разделим выражение на $\bf cos10^\circ$ , получим

$\bf =16\cdot \dfrac{cos10^\circ }{\cos10^\circ }\cdot sin10^\circ \cdot sin30^\circ \cdot sin50^\circ \cdot sin70^\circ =\\\\\\=\bf \dfrac{8}{cos10^\circ }\cdot \underbrace{\bf 2\cdot cos10^\circ \cdot sin10^\circ }_{sin20^\circ }\cdot sin30^\circ \cdot sin50^\circ \cdot sin70^\circ =\\\\\\=\dfrac{8}{cos10^\circ }\cdot sin20^\circ \cdot sin30^\circ \cdot sin50^\circ \cdot sin70^\circ =$    

Применим формулу приведения :   $\bf sin\alpha =cos(90^\circ -\alpha )$  .

$\bf =\dfrac{8}{cos10^\circ }\cdot sin20^\circ \cdot sin30^\circ \cdot sin50^\circ \cdot cos(90^\circ -70^\circ )=\\\\\\=\dfrac{8}{cos10^\circ }\cdot sin20^\circ \cdot sin30^\circ \cdot sin50^\circ \cdot cos\, 20^\circ =\\\\\\=\dfrac{4}{cos10^\circ }\cdot \underbrace{\bf 2\cdot sin20^\circ \cdot cos20^\circ }_{sin40^\circ }\cdot sin30^\circ \cdot sin50^\circ =$  

$\bf =\dfrac{4}{cos10^\circ }\cdot sin40^\circ \cdot sin30^\circ \cdot sin50^\circ =\\\\\\=\dfrac{4}{cos10^\circ }\cdot sin40^\circ \cdot sin30^\circ \cdot cos(90^\circ -50^\circ )=\\\\\\=\dfrac{4}{cos10^\circ }\cdot sin40^\circ \cdot sin30^\circ \cdot cos40^\circ =\\\\\\=\dfrac{2}{cos10^\circ }\cdot \underbrace{\bf 2\cdot sin40^\circ \cdot cos40^\circ }_{sin80^\circ }\cdot sin30^\circ =$  

$\bf =\dfrac{2}{cos10^\circ }\cdot sin80^\circ \cdot sin30^\circ =\dfrac{2}{cos10^\circ }\cdot cos(90^\circ -80^\circ )\cdot sin30^\circ =\\\\\\=\dfrac{2}{cos10^\circ }\cdot cos10^\circ \cdot sin30^\circ =2\cdot sin30^\circ =2\cdot \dfrac{1}{2}=1$