Question

изучить интеграл и в случае сходимости вычислить его

Answer 1

Этот интеграл не является элементарным, поэтому давайте проведем замену переменной. Пусть $u=\sqrt{1-x}$, тогда $du=-\dfrac{dx}{2u}$ и пределы интегрирования при $x_1=1$ имеем $u_1=0$ и при $x_2=0$ имеем $u_2=1$. Получаем:

$\displaystyle -\int^0_1\dfrac{2(u-1)u}{1-u^2}du=-2\int^1_0\dfrac{u(1-u)}{(1-u)(1+u)}du=-2\int^1_0\dfrac{u}{1+u}du=$

$=-2\displaystyle \int^1_0\left(1-\dfrac{1}{1+u}\right)=-2\cdot \left(u-\ln|1+u|\right)\Big|^1_0=-2\cdot (1-\ln 2)=2\ln 2-2$

Интеграл сходится