Question

19.4. Пусть АЕ= √5 высота прямоугольного треугольника АВС, опущенная на гипотенузу ВC. Найдите площадь треугольника ABC, если площади треугольников АСЕ и AEB относятся как 1 : 2. ​

Answer 1

Ответ:

$\frac{15\sqrt{2}}{4}$

Объяснение:

1. BE

$\frac{S_{ACE}}{S_{AEB}}=\frac{1}{2}\\\\\frac{\frac{1}{2}EC\cdot AE}{\frac{1}{2}BE\cdot AE}=\frac{1}{2}\\\\\frac{EC}{BE}=\frac{1}{2}\\\\BE=2EC$

2. EC

$\frac{AE}{EC}=\frac{BE}{AE}\\\\\frac{\sqrt5}{EC}=\frac{BE}{\sqrt5}\\\\EC\cdot BE=\sqrt5 \cdot \sqrt5\\\\EC\cdot BE=5\\\\EC\cdot 2 EC=5\\\\2EC^2=5\ \ \ |:2\\\\EC^2=\frac{5}{2}\\\\EC=\sqrt{\frac{5}{2}}\\\\EC=\frac{\sqrt5}{\sqrt2}\\\\EC=\frac{\sqrt{10}}{2}$

3. . Площадь треугольника ABC

$S_{ABC}=\frac{1}{2}CB\cdot AE\\\\S_{ABC}=\frac{1}{2}(BE+EC)\cdot \sqrt5\\\\S_{ABC}=\frac{\sqrt5}{2}(2EC+EC)\\\\S_{ABC}=\frac{\sqrt5}{2}\cdot3 EC\\\\S_{ABC}=\frac{3\sqrt5}{2}\cdot\frac{\sqrt{10}}{2}\\\\S_{ABC}=\frac{3\sqrt{50}}{4}\\\\S_{ABC}=\frac{3\cdot 5\sqrt{2}}{4}\\\\S_{ABC}=\frac{15\sqrt{2}}{4}$