19.19, 19.20 с объяснением
Ответы
Відповідь:
19.19.Найдите длину высоты, проведенной к основанию равнобедренного треугольника, если эта высота вдвое больше своей проекции на боковую сторону, а площадь треугольника S = √3.
Решение:дано: треугольник АВС равнобедренный,АВ=ВС; ВН - высота, медиана и биссектриса, поэтому АН=СН. НК - высота к ВС, ВК - проекция ВН на ВС. Пусть ВК=а, тогда ВН=2а.
В прямоугольном ∆ ВКН катет ВК равен половине гипотенузы ВН ⇒ ∠ВНК=30°(свойство). Тогда угол ∠НВК=60°, а НС=ВН•tg60°=2a√3.
SΔABC=0,5•ВН•АС=ВН•СН ⇒ 2a•2a√3=√3 ⇒ 4a²=1. ⇒ a=√(1/4)=1/2. Тогда высота ВН=2•1/2=1 (ед. длины).
19.20.
К боковым сторонам равнобедренного треугольника проведены медианы, длины которых равны 6. Синус угла между этими медианами равен 1/3. Найдите площадь треугольника АВС.
Решение: Рассмотрим Δ ABC-равнобедренный, АВ=ВС. В нем провели медианы AE и CD. Так как D - середина AB, Е - середина BC, то DE - средняя линия ABC. Δ DBE и ΔABC подобны с коэффициентом подобия 1/2. То есть SΔDBE / SΔABC = (1/2)^2=1/4.
SΔABC=4*SΔDBE, SADEC = SΔABC - SΔDBE = 3*SΔDBE, Отсюда SΔABC = 4/3 * S_ADEC.
Рассмотрим четырехугольник ADEC. Это равнобокая трапеция, у которой диагонали равна d=6, а синус угла между диагоналями равен sinα=1/3. Площадь его равна S_ADEC=1/2*d^2*sinα=1/2*6^2*1/3=6. S_ABC=4/3*6=8.
Ответ: площадь треугольника АВС=8см2
Пояснення:
