Question

Условия прикрепил в файле

Answer 1

Часть первая, посчитаем сумму ряда без взятия целых частей

$\displaystyle 1^2+2^2+...+2023^2 = \frac{2023\cdot2024\cdot4047}{6}$

$\displaystyle k+2k+...+2023k = \frac{2023\cdot2024}{2}k$

Поэтому сумма ряда без взятия целых

$\displaystyle\frac{2023\cdot2024}{10}\left(\frac{4047}{3}-k}\right) = 409455.2(1349-k)$

Взятие целой части уменьшает каждый член ряда на число не превосходящее единицу, а всю сумму ряда - на число не превосходящее 2023. Поэтому натуральное k может равняться только 1349 (и то не факт). Иначе сумма ряда будет слишком положительной или слишком отрицательной, и отнимание числа не превосходящего 2023 не сдвинет ее в нужный коридор.

Часть вторая. Целая часть от отношения $A/5$ равна

$\displaystyle[A/5] = A/5 - \frac{1}{5}A\%5$

где $A\%5$ - остаток от деления числа $A$ на 5. Рассмотрим остатки от делений чисел $n^2-1349$ на 5. Так как 1350 делится на 5

$(n^2-1349)\%5 = (n^2+1)\%5$

Очевидно, $(n+5)^2\%5 = n^2\%5$, поэтому рассмотрим только первые пять остатков

$n^2+1=2,5,10,17,26...\\(n^2+1)\%5 = 2,0,0,2,1...$

Поэтому числа, вычитаемые от каждого члена ряда для взятия целой части образуют последовательность
$0.4,0,0,0.4,0.2...$

То есть на каждые 5 членов ряда мы вычитаем по 1. Всего в ряду у нас 2023\5=404 полных пятерок и еще "хвостик", так что в итоге мы уменьшим исходное значение ряда не более чем на 405. Так как при k=1349 без взятия целых частей сумма ряда равна 0, то после взятия целых частей будет где-то между -404 и -405, что попадает в коридор от -1000 до 1000

Ответ: единственное k=1349