Question

Тема: Складені функції. Похідні від складених функцій багатьох змінних.

Answer 1

Ответ:

2)   Если поверхность задана уравнением  F(x,y,z)=0 (т.е. неявно) , то уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке  M₀(x₀,y₀,z₀)  можно найти по следующей формуле:

$\bf F'_{x}(M_0)\cdot (x-x_0)+F-{y}(M_0)\cdot (y-y_0)+F'_{z}(M_0)\cdot (z-z_0)=0$  .

$\bf F(x,y,z)=ln(x^2+y^2-z^2)+2y(x^2+z^2)-4=0\ \ ,\ \ M_0(1,1,1)\\\\F'_{x}=\dfrac{2x}{x^2+y^2-z^2}+4xy\ \ ,\ \ \ F'_{x}(M_0)=\dfrac{2}{1}+4=6\\\\\\ F'_{y}=\dfrac{2y}{x^2+y^2-z^2}+2(x^2+z^2)\ \ ,\ \ \ F'_{y}(M_0)=\dfrac{2}{1}+4=6\\\\\\F'_{z}=\dfrac{-2z}{x^2+y^2-z^2}+4yz\ \ \ ,\ \ \ F'_{z}(M_0)=\dfrac{-2}{1}+4=2$  

Уравнение касательной плоскости в  точке М₀ имеет вид :  

$\bf 8(x-1)+6(y-1)+2(z-1)=0\ |:2\\\\4(x-1)+3(y-1)+(z-1)=0\\\\\boxed{\bf \ 4x+3y+z-18=0\ }\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \overline{n}=(4;3;1)$  

Уравнение нормали имеет вид :    $\boxed{\ \bf \dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y-1}{3}=\dfrac{z-1}{1} }$   .

3)  Вычисляем интеграл м помощью замены .

$\bf \displaystyle \int \dfrac{ln(x+\sqrt{x^2+1})}{\sqrt{x^2+1}}\, dx=\Big[\ u=ln(x+\sqrt{x^2+1})\ \ ,\\\\\\du=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot \Big(1+\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} \Big)\, dx=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}\, dx=\\\\\\=\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}\ \Big]=\int u\cdot du=\frac{u^2}{2}+C=\frac{1}{2}\cdot ln^2(x+\sqrt{x^2+1})+C$