Question

Выведите формулу для нахождения количества четных натуральных делителей числа, для произвольного натурального числа

Answer 1

Ответ и Объяснение:

Основная теорема арифметики: Любое натуральное число n можно представить в виде

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} n= p_1^{\alpha _1} \cdot p_2^{\alpha _2} \cdot p_3^{\alpha _3} \cdot ... \cdot p_k^{\alpha _k}$,

где $\tt p_1, \; p_2, \; p_3$, … , $\tt p_k$ — простые числа (всегда можно сортировать по возрастанию), $\tt \alpha _1, \;\alpha _2, \;\alpha _3,$, ..., $\tt \alpha _k$ - неотрицательные целые числа.

Известно, что тогда количество всех натуральных делителей числа n равно

τ(n) = (α₁+1)·(α₂+1)·(α₃+1)·...·($\tt \alpha _k$+1).

Пусть n произвольное натуральное число.

Если n - чётное число, то p₁ = 2 и $\tt p_2, \; p_3$, … , $\tt p_k$ — нечётные простые числа, поэтому число n можно представить в виде

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} n= 2^{\alpha _1} \cdot p_2^{\alpha _2} \cdot p_3^{\alpha _3} \cdot ... \cdot p_k^{\alpha _k}=2^{\alpha _1} \cdot m,$

где $\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} m= p_2^{\alpha _2} \cdot p_3^{\alpha _3} \cdot ... \cdot p_k^{\alpha _k}.$

Количество всех натуральных делителей числа m равно

τ(m) = (α₂+1)·(α₃+1)·...·($\tt \alpha _k$+1).

С другой стороны, τ(m) определяет количество всех нечётных натуральных делителей числа n.

Тогда разность всех натуральных делителей числа n и всех натуральных делителей числа m равно числу всех четных натуральных делителей числа n:

τ(n) - τ(m) = (α₁+1)·(α₂+1)·(α₃+1)·...·($\tt \alpha _k$+1) - (α₂+1)·(α₃+1)·...·($\tt \alpha _k$+1) =

= (α₁+1-1)·(α₂+1)·(α₃+1)·...·($\tt \alpha _k$+1) = α₁·(α₂+1)·(α₃+1)·...·($\tt \alpha _k$+1).

Далее, если n нечётное число, то α₁ = 0 и не имеет чётных натуральных делителей.

Значит, для произвольного натурального числа n верно:

α₁·(α₂+1)·(α₃+1)·...·($\tt \alpha _k$+1) равно числу четных натуральных делителей, где α₁ - степень 2.

#SPJ1