Question

тригонометрия

просьба доказать.​

Answer 1

Ответ:

Доказать тождество .

$\bf 2\, tg\dfrac{a}{2}\cdot (tga+ctga)\cdot \Big(1-tg^2\dfrac{a}{2}\Big)=\dfrac{1}{cos^4\dfrac{a}{2}}$    

Применяем формулы : $\bf tga=\dfrac{sina}{cosa}\ \ ,\ \ ctga=\dfrac{cosa}{sina}$  , а также основное

тригонометрическое тождество  :  $\bf sin^2a+cos^2a=1$ ,  формулу

синуса двойного угла   $\bf sina=2\cdot sin\dfrac{a}{2}\cdot cos\dfrac{a}{2}$  , формулу косинуса

двойного угла  $\bf cosa=cos^2\dfrac{a}{2}-sin^2\dfrac{a}{2}$   .

$\bf 2\, tg\dfrac{a}{2}\cdot (tga+ctga)\cdot \Big(1-tg^2\dfrac{a}{2}\Big)=\bf 2\, tg\dfrac{a}{2}\cdot \Big(\dfrac{sina}{cosa}+\dfrac{cosa}{sina}\Big)\cdot \Big(1-\dfrac{sin^2\dfrac{a}{2}}{cos^2\dfrac{a}{2}}\Big)=\\\\\\=2\cdot \dfrac{sin\dfrac{a}{2}}{cos\dfrac{a}{2}}\cdot \dfrac{sin^2a+cos^2a}{sina\cdot cosa}\cdot \dfrac{cos^2\dfrac{a}{2}-sin^2\dfrac{a}{2}}{cos^2\dfrac{a}{2}}=$  

$\bf =2\cdot \dfrac{sin\dfrac{a}{2}}{cos\dfrac{a}{2}}\cdot \dfrac{1}{sina\cdot cosa}\cdot \dfrac{cosa}{cos^2\dfrac{a}{2}}=2\cdot \dfrac{sin\dfrac{a}{2}}{cos\dfrac{a}{2}}\cdot \dfrac{1}{sina}\cdot \dfrac{1}{cos^2\dfrac{a}{2}}=\\\\\\=2\cdot \dfrac{sin\dfrac{a}{2}}{cos\dfrac{a}{2}}\cdot \dfrac{1}{2\cdot sin\dfrac{a}{2}\cdot cos\dfrac{a}{2}}\cdot \dfrac{1}{cos^2\dfrac{a}{2}}=\dfrac{1}{cos\dfrac{a}{2}}\cdot \dfrac{1}{cos\dfrac{a}{2}}\cdot \dfrac{1}{cos^2\dfrac{a}{2}}=\dfrac{1}{cos^4\dfrac{a}{2}}\ ;$  

$\bf \dfrac{1}{cos^4\dfrac{a}{2}}=\dfrac{1}{cos^4\dfrac{a}{2}}$  

Тождество доказано .