Question

Обчислити довжину дуги лінії: y= 4-x^2 між точками перетину її з віссю Оx.

Answer 1

Линия y= 4-x^2 пересекает ось Ox в точках -2 и 2

Сама формула для длины дуги, заданной уравнением y(x) достаточно проста

$\displaystyle L = \int_A^{B}\sqrt{dx^2+dy^2} = \int_{x_A}^{x_B}dx\sqrt{1+(dy/dx)^2}$

производная

$dy/dx = d(4-x^2)/dx = -2x$

Поэтому

$L = \displaystyle \int_{-2}^2dx\sqrt{1+4x^2}=\frac{1}{2} \int_{-2}^2(2dx)\sqrt{1+(2x)^2}=\\\\\frac{1}{2}\int_{-4}^{4}du\sqrt{1+u^2}$

Этот интеграл удобно вычислить подстановкой $u = \sinh t$

Тогда $du = \cosh t dt$ и $1+u^2 = \cosh^2t$

$\displaystyle \int du\sqrt{1+u^2} = \int\cosh^2 t dt = \int\frac{e^{2t}+e^{-2t}+2}{4}dt = \\\\\frac{e^{2t}-e^{-2t}}{8}+t/2+C = \frac{1}{4}\sinh 2t+t/2+C = \\\\\frac{1}{2}(\sinh t\cosh t+t)+C = \frac{1}{2}(u\sqrt{1+u^2}+\sinh^{-1}(u))+C$

Первообразная является нечетной функцией, поэтому длина дуги, которая является интегралом в симметричных пределах в итоге будет равна

$\displaystyle L = \frac{1}{4}\left(u\sqrt{1+u^2}+\sinh^{-1}u\right)|\limits_{-4}^{4} = \\\\=\frac{1}{2}(4\sqrt{17}+\sinh^{-1}(4))$