Question

Интерполяция. Решите не системой уравнений, с помощью интерполяционного полинома Лагранжа, или более простым методом

Answer 1

Для нахождения значения $f(10)$ с использованием интерполяционного полинома Лагранжа, нужно использовать предоставленные точки данных и построить полином Лагранжа, проходящий через эти точки. Полином Лагранжа является полиномом степени не выше $(n-1)$, где $n$ - количество точек данных.

В данном случае у нас есть 5 точек данных:

$(-2, -4),\,(0, 2), \,(1, 2),\, (2, 8), \,(3, 26)$

Полином Лагранжа может быть записан следующим образом:

$f(x)=\displaystyle \sum^{n-1}_{i=0}f(x_i)\cdot L_i(x)$

где $L_i(x)$ — базисный полином Лагранжа, заданный следующим образом: $L_i(x)=\displaystyle \prod^{n-1}_{j=0,j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$

Подставляя данные точки в полином Лагранжа, получаем:

$f(x)=-4\cdot \frac{(x-0)(x-1)(x-2)(x-3)}{(-2-0)(-2-1)(-2-2)(-2-3)}+2\cdot \frac{(x+2)(x-1)(x-2)(x-3)}{(0+2)(0-1)(0-2)(0-3)}+2\cdot \\ \\ \frac{(x+2)(x-0)(x-2)(x-3)}{(1+2)(1-0)(1-2)(1-3)}+8\cdot \frac{(x+2)(x-0)(x-1)(x-3)}{(2+2)(2-0)(2-1)(2-3)}+26\cdot \frac{(x+2)(x-0)(x-1)(x-2)}{(3+2)(3-0)(3-1)(3-2)}$

Находим теперь $f(10)$, подставляя $x=10$

$f(10)=-4\cdot \frac{(10-0)(10-1)(10-2)(10-3)}{(-2-0)(-2-1)(-2-2)(-2-3)}+2\cdot \frac{(10+2)(10-1)(10-2)(10-3)}{(0+2)(0-1)(0-2)(0-3)}+2\cdot \\ \\ \frac{(10+2)(10-0)(10-2)(10-3)}{(1+2)(1-0)(1-2)(1-3)}+8\cdot \frac{(10+2)(10-0)(10-1)(10-3)}{(2+2)(2-0)(2-1)(2-3)}+26\cdot \frac{(10+2)(10-0)(10-1)(10-2)}{(3+2)(3-0)(3-1)(3-2)}=\\ =992$

Answer 2

Ответ:

992.

Объяснение:

С помощью многочлена Лагранжа решать задачу слишком скучно, любой желающий может ознакомиться с этим методом самостоятельно. Поступим лучше так. По условию

                              f(0)=f(1)=2; f(-2)=-4; f(2)=8; f(3)=26.

Пусть          g(x)=f(x)-2⇒ g(0)=9(1)=0; g(-2)=-6; g(2)=6; g(3)=24.

У многочлена g(x) знаем корни 0 и 1⇒ g(x)=x(x-1)h(x), причем степень h(x) не выше 2.

g(2)=6=2h(2)⇒h(2)=3; g(-2)=-6=6h(-2)⇒h(-2)=-1; g(3)=24=6h(3)⇒h(3)=4.

Продолжим упрощение. Пусть k(x)=h(x)-3⇒k(2)=0; k(-2)=-4; k(3)=1.

У многочлена k(x) знаем корень 2⇒ k(x)=(x-2)m(x), причем степень m(x)  не выше 1.

k(-2)=-4=-4m(-2)⇒m(-2)=1; k(3)=1=m(3)⇒m(3)=1. Итак, m(-2)=m(3)=1⇒m(x)=1; k(x)=x-2; h(x)=x+1; g(x)=x(x-1)(x+1)=x³-x; f(x)=x³-x+2.