Question

В шар массы М, лежащий на кольце, попадает пуля массы т, и пробивает его. Скорость пули
v была направлена вертикально вверх вдоль прямой, проходящей через центр шара. На какую высоту над кольцом подпрыгнет шар, если пуля после пробивания шара поднялась на высоту Н?

Answer 1

При подлете к шару пуля имела кинетическую энергию

$mv^2/2 = p^2/2m$

Какую-то часть этой энергии пуля передала шару, а еще какая-то часть этой кинетической энергии
$mv'^2/2 = p'^2/2m$
в итоге перешла в потенциальную энергию пули

$mgH$

Часть энергии, переданная шару, сначала была в форме его кинетической энергии

$Mu^2/2 = p_2^2/2M$

и в итоге она перешла в его потенциальную энергию

$Mgh$,

где $h$ --- искомая высота.

Однако нельзя считать, что вся разность энергий пули была передана шару, так как пробивание пулей шара - процесс неупругий из-за неизбежного наличия внутреннего трения между пулей и шаром.

Зато импульс во время удара можно считать сохраняющимся, так как за время удара внешние силы не успеют сильно изменить импульс системы. Поэтому

$p = p'+p_2\\p'^2/2m = mgH\\h = Mgh/M = p_2^2/(2M^2g)$

Находим $p_2 = p-p'$ и подставляем в третью строчку

$\displaystyle h = \frac{\left(mv-\sqrt{2m^2gH}\right)^2}{2M^2g} = \frac{m^2\left(v-\sqrt{2gH}\right)^2}{2M^2g}$