Question

У рівнобедреному трикутнику кут при вершині дорівнює а, а бісектриса кута при основі дорівнює І. Знайдіть периметр
трикутника.

Answer 1

Пусть $ABC$ - наш треугольник с вершиной $C$, $AM$ - биссектриса угла $A$

Тогда в треугольнике $ACM$

$\angle ACM = \alpha\\\angle MAC = (\pi/2-\alpha/2)/2 = (\pi-\alpha)/4\\\angle CMA = 3(\pi-\alpha)/4$

И по теореме синусов

$\displaystyle \frac{l}{\sin\alpha} = \frac{AC}{\sin[3(\pi-\alpha)/4]}\\\\AC=\frac{l\sin[3(\pi-\alpha)/4]}{\sin\alpha}$

В треугольнике $AMB$

$\angle MBA = (\pi-\alpha)/2\\\angle AMB = \pi-\angle CMA$

И по теореме синусов

$\displaystyle \frac{l}{\sin[(\pi-\alpha)/2]} = \frac{AB}{\sin(\pi-\angle CMA)} = \frac{AB}{\sin[3(\pi-\alpha)/4]}\\\\AB = \frac{l\sin[3(\pi-\alpha)/4]}{\cos\alpha/2}$

Сам периметр

$\displaystyle p = 2AC+AB = l\sin[3(\pi-\alpha)/4]\left(\frac{2}{\sin\alpha}+\frac{1}{\cos\alpha/2}\right)$