Question

Известно, что натуральное число n не кратно 3. Докажите, что значение выражения n^2+2 кратно 3. (распишите поподробнее, если можно)

Answer 1

Допустим, что натуральное число n не кратно 3. Тогда n можно представить в виде n = 3k + 1 или n = 3k - 1 для некоторого натурального числа k.

В первом случае n^2 + 2 = (3k + 1)^2 + 2 = 9k^2 + 6k + 1 + 2 = 9k^2 + 6k + 3 = 3(3k^2 + 2k + 1), которое кратно 3.

Во втором случае n^2 + 2 = (3k - 1)^2 + 2 = 9k^2 - 6k + 1 + 2 = 9k^2 - 6k + 3 = 3(3k^2 - 2k + 1), которое также кратно 3.

Таким образом, значение выражения n^2 + 2 кратно 3 для любого натурального числа n, которое не кратно 3.

Answer 2

$(n^2+2)\ \textrm{mod}\ 3 = (n^2-1) \mod 3$

3 - простое число, а потому согласно малой теореме Ферма для $n$ не кратного 3 число $n^2-1$ делится на три, значит и $n^2+2$ делится на 3