Question

ТЕРМIНОВО!! Нехай дійсні числа а, b i c задовольняють рівність:
3а²+3аb+2b²+2bc+c²+c+5/4=0
Знайдіть суму a+b+c
А) -3/2
Б) -1
В) -1/2
Г) 0
Д) Інша відповідь

Answer 1

Ответ:

Сумма a+b+c равна А) -3/2, если

$\tt \displaystyle 3 \cdot a^2+3 \cdot a \cdot b+2 \cdot b^2+2 \cdot b \cdot c+c^2+c+\frac{5}{4} =0$

Объяснение:

Перевод: Пусть действительные числа а, b и c удовлетворяют равенству: $\tt \displaystyle 3 \cdot a^2+3 \cdot a \cdot b+2 \cdot b^2+2 \cdot b \cdot c+c^2+c+\frac{5}{4} =0.$ Найдите сумму a+b+c.

А) -3/2    Б) -1    В) -1/2    Г) 0    Д) Другой ответ

Информация. 1) Формула сокращённого умножения:

(x + y)² = x² + 2·x·y + y².

2) Если сумма квадратов выражений равна 0, то каждое слагаемое равно нулю.

Решение. Применим формулу сокращённого умножения и выделим полные квадраты:

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} 3 \cdot (a^2+ a \cdot b)+2 \cdot b^2+2 \cdot b \cdot c+c^2+c+\frac{5}{4} =0$

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} 3 \cdot \bigg (a^2+ 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + \bigg (\frac{b}{2} \bigg )^2- \bigg (\frac{b}{2} \bigg )^2 \bigg )+2 \cdot b^2+2 \cdot b \cdot c+c^2+c+\frac{5}{4} =0$

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} 3 \cdot \bigg (a+ \frac{b}{2} \bigg)^2 - \frac{3 \cdot b^2}{4} +2 \cdot b^2+2 \cdot b \cdot c+c^2+c+\frac{5}{4} =0$

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} 3 \cdot \bigg (a+ \frac{b}{2} \bigg)^2 + \frac{5 \cdot b^2}{4} +2 \cdot b \cdot c+c^2+c+\frac{5}{4} =0$

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} 3 \cdot \bigg (a+ \frac{b}{2} \bigg)^2 + \frac{5 }{4} \cdot (b^2+2 \cdot \frac{4}{5} \cdot b \cdot c)+c^2+c+\frac{5}{4} =0$

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} 3 \cdot \bigg (a+ \frac{b}{2} \bigg)^2 + \frac{5 }{4} \cdot (b^2+2 \cdot b \cdot \frac{4}{5} \cdot c+ \bigg (\frac{4}{5} \cdot c \bigg )^2-\bigg (\frac{4}{5} \cdot c \bigg )^2\bigg )+c^2+c+\frac{5}{4} =0$

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} 3 \cdot \bigg (a+ \frac{b}{2} \bigg)^2 + \frac{5 }{4} \cdot \bigg (b+\frac{4}{5} \cdot c \bigg )^2-\frac{4}{5} \cdot c^2 +c^2+c+\frac{5}{4} =0$

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} 3 \cdot \bigg (a+ \frac{b}{2} \bigg)^2 + \frac{5 }{4} \cdot \bigg (b+\frac{4}{5} \cdot c \bigg )^2+\frac{1}{5} \cdot c^2 +c+\frac{5}{4} =0$

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} 3 \cdot \bigg (a+ \frac{b}{2} \bigg)^2 + \frac{5 }{4} \cdot \bigg (b+\frac{4}{5} \cdot c \bigg )^2+\frac{1}{5} \cdot (c^2 +5 \cdot c)+\frac{5}{4} =0$

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} 3 \cdot \bigg (a+ \frac{b}{2} \bigg)^2 + \frac{5 }{4} \cdot \bigg (b+\frac{4}{5} \cdot c \bigg )^2+\frac{1}{5} \cdot \bigg (c^2 +2 \cdot c\cdot \frac{5}{2} +\bigg (\frac{5}{2} \bigg )^2 -\bigg (\frac{5}{2} \bigg )^2\bigg )+\frac{5}{4} =0$

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} 3 \cdot \bigg (a+ \frac{b}{2} \bigg)^2 + \frac{5 }{4} \cdot \bigg (b+\frac{4}{5} \cdot c \bigg )^2+\frac{1}{5} \cdot \bigg (c +\frac{5}{2} \bigg )^2 -\frac{5}{4} +\frac{5}{4} =0$

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} 3 \cdot \bigg (a+ \frac{b}{2} \bigg)^2 + \frac{5 }{4} \cdot \bigg (b+\frac{4}{5} \cdot c \bigg )^2+\frac{1}{5} \cdot \bigg (c +\frac{5}{2} \bigg )^2 =0$

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} \bigg (\sqrt{3} \cdot \bigg (a+ \frac{b}{2} \bigg)\bigg)^2 + \bigg (\frac{\sqrt{5} }{2} \cdot \bigg (b+\frac{4}{5} \cdot c \bigg )\bigg)^2+\bigg (\frac{1}{\sqrt{5} } \cdot \bigg (c +\frac{5}{2} \bigg )\bigg)^2 =0$

Далее, так как сумма квадратов выражений равна 0, то каждое слагаемое равно нулю. Тогда

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} \bigg (\sqrt{3} \cdot \bigg (a+ \frac{b}{2} \bigg)\bigg)^2 =0, \bigg (\frac{\sqrt{5} }{2} \cdot \bigg (b+\frac{4}{5} \cdot c \bigg )\bigg)^2=0,\bigg (\frac{1}{\sqrt{5} } \cdot \bigg (c +\frac{5}{2} \bigg )\bigg)^2 =0$

Отсюда

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} \sqrt{3} \cdot \bigg (a+ \frac{b}{2} \bigg)=0, \frac{\sqrt{5} }{2} \cdot \bigg (b+\frac{4}{5} \cdot c \bigg )=0,\frac{1}{\sqrt{5} } \cdot \bigg (c +\frac{5}{2} \bigg ) =0.$

Коэффициенты не нулевые числа и поэтому

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} a+ \frac{b}{2}=0, b+\frac{4}{5} \cdot c =0,c +\frac{5}{2} =0.$

Теперь можем определить значение a, b и c:

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} c =-\frac{5}{2} , b=-\frac{4}{5} \cdot c =-\frac{4}{5} \cdot \bigg(-\frac{5}{2} \bigg)=2, a=- \frac{b}{2}=- \frac{2}{2}=-1.$

Теперь найдём значение нужной суммы:

$\tt \displaystyle \large \boldsymbol {} a+b+c =-1+2-\frac{5}{2} =1-2,5=-1,5=-\frac{3}{2}.$

#SPJ1