Question

y'² −1=2yy"; y(2) = 1, y'(2) = 2

Answer 1

$(y')^2-1=2yy''$

Пусть $y' = f(y)$  тогда

$y'' = f'(y)y' = f'f$

$\displaystyle f^2-1 = 2yf'f\\ff' = \frac{f^2-1}{2y}\\f\frac{df}{dy} = \frac{f^2-1}{2y}\\\frac{2fdf}{f^2-1} = \frac{dy}{y}\\\frac{d(f^2)}{f^2-1} = d(\ln y)\\\ln(f^2-1) = \ln y+\tilde{C}\\f^2-1 = Cy\\\frac{dy}{dx} = \pm\sqrt{1+Cy}$

Подставим начальные условия: при y=1 y'=2 или

$2 = \pm\sqrt{1+C} \Rightarrow C = 3$ и знак выбирается +

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \sqrt{1+3y}\\\frac{dy}{\sqrt{1+3y}} = dx\\\frac{2}{3}\sqrt{1+3y} = x + C_1$

Подставим начальные условия при x=2 y=1 или

$\frac{2}{3}\sqrt{4} = 2+C_1 \Rightarrow C_1 = -2/3$

$\displaystyle 2\sqrt{1+3y} = 3x-2\\1+3y = (1.5x-1)^2\\y = \frac{(1.5x-1)^2-1}{3}$