У прямокутний трикутник вписано півколо, центр якого лежить на гіпотенузі й поділяє її на відрізки довжиною 15 см і 20 см. Знайдіть радіус цього кола і площу трикутника.
Ответы
Відповідь:
Пояснення:
AB - гіпотенуза , а АС і ВС - катети прямок. ΔАВС ( ∠С = 90° ) .
Точки M i N -точки дотику впис. в тр - ник півкола ( з центром О )
відповідно до катетів ВС і АС . ОА = 15 см ; ОВ = 20 см .
OM⊥BC , ON⊥AC ; якщо R - радіус впис. півкола , то NC = OM =
= CM = ON = R . Із прямок. ΔOAN AN = √( OA² - ON² ) = √( 15² - R² ) .
Із прямок. ΔOBM BM = √( OB² - OM² ) = √( 20² - R² ) .
Прямокутний ΔOAN ∼ ΔBOM за гострим кутом ( ∠NAO = ∠MOB ),
тому AN/OM = ON/BM = OA/OB . √( 15²- R² )/R = R/√( 20²- R²) =15/20 .
Із рівності 1 - го і 3 - го відношень маємо R = 12 см . Тоді
AN = √( 15² - R² ) = √( 15² - 12² ) = 9 ( см ) , а АС = 12 + 9 = 21 ( см ) .
BM = √( 20² - R² ) = √( 20² - 12² ) = 16 ( см ) , а BC = 12 + 16 = 28 ( cм ) .
Площа прямок. ΔАВС S = 1/2 AC * BC = 1/2 * 21 * 28 = 284 ( см² ) .