Question

100 баллов! решить уравнение! с подробным пошаговым решением!
${x}^{4} - {x}^{3} - 10 {x}^{2} + 2x + 4 = 0$
​

Answer 1

$\displaystyle\bf\\x^{4} -x^{3} -10x^{2} +2x+4=0\\\\(x^{2} +2x-2)\cdot(x^{2} -3x-2)=0\\\\1)\\\\x^{2} +2x-2=0\\\\D=2^{2} -4\cdot(-2)=4+8=12=(2\sqrt{3} )^{2} \\\\\\x_{1} =\frac{-2-2\sqrt{3} }{2} =-1-\sqrt{3} \\\\\\x_{2} =\frac{-2+2\sqrt{3} }{2} =\sqrt{3} -1\\\\2)\\\\x^{2} -3x-2=0\\\\D=(-3)^{2} -4\cdot(-2)=9+8=17\\\\\\x_{3} =\frac{3-\sqrt{17} }{2} \\\\\\x_{4} =\frac{3+\sqrt{17} }{2}$

$\displaystyle\bf\\Otvet \ : \ -1-\sqrt{3} \ ; \ \sqrt{3} -1 \ ; \ \frac{3-\sqrt{17} }{2} \ ; \ \frac{3+\sqrt{17} }{2}$

Answer 2

Ответ:

$x_1=\frac{3+\sqrt{17} }{2}, x_2=\frac{3-\sqrt{17} }{2}\\x_3=\sqrt{3} -1, x_4=-(\sqrt{3}+1)$

Объяснение:

Данное уравнение является возвратным, для решения которого существует метод:

$x^{4}-x^{3}-10x^{2} +2x+4=0\\ (x^{4}+4)-(x^{3}-2x)-10x^{2} =0$

Так как x=0 не является решением данного уравнения, то мы поделим на x²

$(x^{2} +\frac{4}{x^{2} } )-(x-\frac{2}{x})-10=0\\(x-\frac{2}{x})^{2} =(x^{2} +\frac{4}{x^{2} })-4$

Вполне логично произвести замену:

$x-\frac{2}{x}=t = > x^{2} +\frac{4}{x^{2} } =t^{2}+4\\t^{2}-t-6=0\\t_1=3\\t_2=-2$

Теперь несложно найти сами корни:

$x-\frac{2}{x} =3\\x^{2} -3x-2=0\\D=9+8=17\\x=\frac{3+\sqrt{17} }{2}, x=\frac{3-\sqrt{17} }{2} \\x-\frac{2}{x}=-2\\x^{2} +2x-2=0\\D=4+8=12\\x=\frac{-2+2\sqrt{3} }{2}=\sqrt{3} -1, x=-(\sqrt{3}+1)$