Question

даю 40 баллов!!
помогите с уравнениями и неравенством на целые и дробные части числа

1) найдите все действительные х, что
х * [х] = 77
2) найдите все действительные х такие, что 13[х] = 29{х}
3) для какого наименьшего действительного х выполнено неравенство х + 2{х} >= 1
4) найдите все действительные х, что 5[х^2] + 5[х] - х^2 -х = 80

Answer 1

Ответ:

$1) ~x =-\dfrac{77}{9}$

$2) ~ x = \bigg \{ 0 ~ ; ~ \dfrac{42}{29}~ ; ~\dfrac{84}{29} \bigg \}$

$3) ~x =- \dfrac{1}{3}$

4) x = {-5 ; 4}

Объяснение:

1) найдите все действительные х, что

х * [х] = 77

2) найдите все действительные х такие, что 13[х] = 29{х}

3) для какого наименьшего действительного х выполнено неравенство х + 2{х} >= 1

4) найдите все действительные х, что 5[х^2] + 5[х] - х^2 -х = 80

По определению антье-функции  [x] ≤ x < [x] + 1, что равносильно неравенству  0 ≤ x - [x] < 1

1) найдите все действительные х, что

х · [х] = 77

$[x]= \dfrac{77}{x}$

Введем замену

$t = \dfrac{77}{x} ~ , ~ x = \dfrac{77}{t} ~ , ~t \in \mathbb Z$

$\bigg[\dfrac{77}{t} \bigg]= t$

Из выше указанного определения

$0\leqslant \dfrac{77}{t} - t < 1$

$\left \{ \begin{array}{l} \dfrac{77}{t} - t \geqslant 0 \\\\ \dfrac{77}{t} - t < 1 \end{array}$

$* ~ \dfrac{77 }{t} - t \geqslant 0 \\\\\\ \dfrac{t^2 -77}{t} \leqslant 0$

√77 ≈ 8.8

$\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(0.85,-0.3) {\sf -8,8} \put(1.29 ,0.1){ \Large \text{ +} } \put(0.25 ,0.1){ \LARGE ---} \put(2.23 ,0.1){ \LARGE \text{ ---} } \put(3.2 ,0.1){ \Large \text{ +} } \put(1,0){\circle*{0.055}} \put( 2.,-0.3) {\sf 0}\put(2.05,0){\circle{0.055}} \put(2.9,-0.3) {\sf 8,8}\put(3,0){\circle*{0.055}} \ \put(0,0){\vector (1,0){4}} \end{picture}$

Методом интервалов получаем

$t \in (- \infty ~ ; -8,8 ~] \cup( 0 ~ ; ~8,8~ ]$

$** ~ \dfrac{77 }{t} - t < 1 \\\\\\ \dfrac{t^2 +t-77 }{t} > 0$

t² + t - 77 = 0

D = 1 + 308 = 309,  √309 ≈ 17,6

$t _1 = \dfrac{-1 + \sqrt{309} }{2 } \approx 8,3$

$t _1 = \dfrac{-1 - \sqrt{309} }{2 } \approx -9,3$

$\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(0.85,-0.3) {\sf -9,3} \put(1.29 ,0.1){ \Large \text{ +} } \put(0.25 ,0.1){ \LARGE ---} \put(2.23 ,0.1){ \LARGE \text{ ---} } \put(3.2 ,0.1){ \Large \text{ +} } \put(1,0){\circle{0.055}} \put( 2.,-0.3) {\sf 0}\put(2.05,0){\circle{0.055}} \put(2.9,-0.3) {\sf 8,3}\put(3,0){\circle{0.055}} \ \put(0,0){\vector (1,0){4}} \end{picture}$

$t \in (-9,3 ~;~ 0)\cup (8,3 ~ ; ~ \infty )$

Следовательно

$\left \{ \begin{array}{l} \dfrac{77}{t} - t \geqslant 0 \\\\ \dfrac{77}{t} - t < 1 \end{array} \Leftrightarrow\left \{ \begin{array}{l} t \in (- \infty ~ ; -8,8 ~] \cup( 0 ~ ; ~8,8~ ] \\\\ t \in (-9,3 ~;~ 0)\cup (8,3 ~ ; ~ \infty ) \end{array} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow t \in (-9,3~ ; ~ -8,8 ]\cup (8,3 ~; ~8, 8]$

А теперь вспомним, что $~t \in \mathbb Z$  ⇒  t равно только (-9), поскольку других целых чисел на данном интервале не лежит

Итак, $~ x = \dfrac{77}{t} = -\dfrac{77}{9}$

2) найдите все действительные х такие, что 13[х] = 29{х}

Воспользуемся, тем  что {x} = x - [x] ⇒

13[x] = 29(x -[x])

42[x]  = 29x

$[x] = \dfrac{29x}{42}$

Аналогично делаем замену, и тоже самое, что и в 1 задаче

$t = \dfrac{29 x}{42} ~ , ~ x = \dfrac{42}{29}t ~ , ~t \in \mathbb Z$

$\displaystyle 0 \leqslant \dfrac{42}{29}t - t < 1 \\\\\\ 0 \leqslant \frac{13}{29} t < 1 \\\\0 \leqslant t < 2\frac{3}{13}$

$t \in \mathbb Z \Rightarrow t = \{0 ; 1 ; 2\} \Rightarrow x = \dfrac{42}{29} t = \bigg \{ 0 ~ ; ~ \dfrac{42}{29}~ ; ~\dfrac{84}{29} \bigg \}$

3) для какого наименьшего действительного х выполнено неравенство х + 2{х} ≥ 1

Отметим что

0≤ {x} < 1 | · 2

0≤ 2{x} < 2 ⇒ при x < 0 может выполнится неравенство

х + 2{х} ≥ 1

x + 2(x -[x]) ≥ 1

3x - 2[x] ≥ 1

$[x] \leqslant \dfrac{3x- 1}{2}$

Решим уравнение

$[x] = \dfrac{3x- 1}{2}$

$t = \dfrac{3x-1}{2}~ ; ~ x = \dfrac{2t + 1}{3}~ ; ~ t \in \mathbb Z$

Используем тоже самое свойство

$0\leqslant \dfrac{2t + 1}{3} - t < 1 \\\\ 0\leqslant \dfrac{-t +1}{3} < 1 \\\\ 0\leqslant -t < 2 \\\\ -2 < t \leqslant 0$

⇒ t  = { -1 ; 0}

Но при x = -1 получается отрицательное число, а при x = 0 положительное, поэтому
$x_{min} = \dfrac{2t + 1}{3}= \dfrac{-2 + 1}{3} = -\dfrac{1}{3}$

При х + 2{х} > 1, отрицательная граница t будет увеличиваться, а значит наименьшее значение постепенно станет больше (-1/3),  поэтому

$x =- \dfrac{1}{3}$ — наименьшее решение неравенства 3x - 2[x] ≥ 1

4) найдите все действительные х, что 5[х^2] + 5[х] - х^2 -х = 80

5[х²] + 5[х] - х² -х = 80

5[x²] - 5[x] - [x²] - {x²} - [x] - {x} = 80

4[x²] + 4[x] - {x²} - {x}  - 80 = 0

Заметим что  {x²} + {x}  - обязательно является целой

Учтем что

0≤ {x} <1

0≤ {x²} < 1

Сложив данные неравенства получаем

0 ≤ {x²} + {x} < 2
На данном промежутке  0,1 —2 целых решения ⇒

1)  {x²} + {x}  = 0 ⋮ 4 ⇒ дробная часть равна нулю

2)  {x²} + {x} = 1 - данный вариант отпадает поскольку
(4[x²] + 4[x]  -  80) ⋮ 4,  а  $1\not \vdots ~4$

Следовательно

$\boldsymbol{x =[x]~ , ~ x \in \mathbb Z}$

$5x^2 + 5x - x^2 - x -80 = 0 \\\\ 4x^2 + 4x - 80 = 0 ~ | : 4 \\\\ x^2 + x - 20 =0$

По Виету

x = {-5 ; 4}