Question

Дві висоти паралелограма, проведені з вершини гострого кута, дорівнюють 2 і 3. Кут між цими висотами дорівнює 150°. Знайдіть суму квадратів діагоналей паралелограма

Answer 1

Відповідь:   d₁² + d₂² = 104 .

Пояснення:

У пар - мі ABCD  AM⊥BC ;  AM = h₁ = 2 ; AN⊥DC ; AN = 3 ; ∠MAN = 150°.

У прямок . тр - никах , утворених кожною із висот і відповідною

стороною пар - ма як гіпотенузами , гострі кути проти висот є суміжними із тупим кутом пар - ма . Цей тупий кут дорівнює за умовою 150° , тому суміжний з ним , наприклад , ∠ADN = 180° - 150° =

= 30° . Катет проти кута 30° дорівнює половині гіпотенузи , тобто

висоти   h₁  i  h₂ дорівнюють половинам сторін пар - ма :

АВ = 2 * h₁ = 2 * 2 = 4 ;   AD = 2 * h₂ = 2 * 3 = 6 . За властивістю

діагоналей пар - ма  d₁² + d₂² = 2* ( a² + b² ) , тобто

          d₁² + d₂² = 2* ( 4² + 6² ) = 2 * ( 16 + 36 ) = 2 * 52 = 104 .