Question

Вокруг равнобедренного треугольника с углом при основании 30 градусов описана окружность радиуса 6 см. Найдите площадь треугольника, составленного
из медиан данного треугольника.

Answer 1

Ответ:

ΔАВС ,  АВ = ВС , R = 6 см  ,  ∠А = 30°

Найти площадь треугольника, построенного на медианах данного треугольника .

Так как ΔАВС равнобедренный , то ∠А = ∠С = 30° ,

∠В = 180°-∠А - ∠С = 180°-30°-30°=120°

Найдём стороныΔАВС по теореме синусов .

$\bf \dfrac{AC}{sin120^\circ }=2R\ \ \ \Rightarrow \ \ \ AC = 2R\cdot sin120^\circ =2\cdot 6\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3\\\\\\\dfrac{AB}{sin30^\circ }=2R\ \ \ \Rightarrow \ \ \ AB = 2R\cdot sin30^\circ =2\cdot 6\cdot \dfrac{1}{2}=6\ \ ,\ \ BC=AB=6$  

Найдём длины медиан, используя формулу медианы :

$\bf m=\dfrac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$   .

$\bf m_1=\dfrac{1}{2}\sqrt{2\cdot 6^2+2\cdot 6^2-(6\sqrt3)^2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{72+72-108}=\dfrac{1}{2}\sqrt{36}=\dfrac{1}{2}\cdot 6=3$  

$\bf m_2=m_3=\dfrac{1}{2}\sqrt{2\cdot 6^2+2\cdot (6\sqrt3)^2-6^2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{72+216-36}=\dfrac{1}{2}\sqrt{252}=\\\\=\dfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{63}=\sqrt{63}$    

По формуле Герона найдём площадь треугольника, составленного

из медиан :   $\bf S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$  .

$\bf p=\dfrac{1}{2}\, (m_1+m_2+m_3)=\dfrac{1}{2}\cdot (3+2\cdot \sqrt{63})=\dfrac{3+2\sqrt{63}}{2}\\\\p-m_1=\dfrac{3+2\sqrt{63}}{2}-3=\dfrac{2\sqrt{63}-3}{2}\\\\p-m_2=p-m_3=\dfrac{3+2\sqrt{63}}{2}-\sqrt{63}=\dfrac{3}{2}$  

Искомая площадь равна :

$\bf S=\sqrt{\dfrac{3+2\sqrt{63}}{2}\cdot \dfrac{2\sqrt{63}-3}{2}\cdot \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{3}{2}}=\sqrt{\dfrac{4\cdot 63-9}{4}\cdot \dfrac{9}{4}}=\dfrac{1}{4}\sqrt{243\cdot 9}=\\\\\\=\dfrac{3}{4}\sqrt{81\cdot 3}=\dfrac{3}{4}\cdot 9\sqrt3=\dfrac{27\sqrt3}{4}$    

Answer 2

Ответ:

........................................................

Объяснение: