На стороні ВС трикутника ABC взято точку D так, що BD:DC = 2:3, а на
стороні АС взято точку Е так, що AE :EC =1:2. Відрізки AD i BE
перетинаються в точці О. Знайти відношення AO : OD.
Ответы
Ответ:
Для знаходження відношення AO : OD розглянемо співвідношення відрізків на сторонах трикутника ABC:
BD : DC = 2 : 3 ...(1)
AE : EC = 1 : 2 ...(2)
Для того щоб отримати відповідне відношення на стороні BC помножимо обидві частини рівняння (1) на 3:
3(BD : DC) = 3(2 : 3)
BD : DC = 2 : 1
Таким чином маємо BD : DC = 2 : 1 : 1 що вказує що точка D поділяє сторону BC в пропорції 2:1.
Аналогічно множимо обидві частини рівняння (2) на 2:
2(AE : EC) = 2(1 : 2)
AE : EC = 1 : 1
Таким чином маємо AE : EC = 1 : 1 : 1 що вказує що точка Е поділяє сторону АС в пропорції 1:1.
Тепер звернувшись до трикутника ADO застосуємо подібність трикутників BDC і BAE. Оскільки A D і B лежать на одній прямій то можемо сказати що трикутники BDC і BAE подібні згідно правилу Застосовуючи це відношення отримаємо:
DO : OC = BD : DC = 2 : 1
Так як OC і DO складають всю сторону ОС то їхні відношення дорівнює зворотному відношенню їх довжин:
OC : DO = 1 : 2
Отже відношення AO : OD буде таке ж як відношення OC : DO що дорівнює 1 : 2.
Таким чином маємо:
AO : OD = 1 : 2