Question

100 баллов! срочно! с подробным решением! ​

Answer 1

Предисловие: обозначим последовательность чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... как $F_1,\ F_2,\ F_3\ ...$

Тогда для нечетных n $5F_n^2-4$ является точным квадратом а для четных n $5F_n^2+4$ также является точным квадратом. Данное правило является тестом на число Фибоначчи, то есть никакие другие натуральные числа а не обладают свойством, что $5a^2\pm4$ является точным квадратом

Задача:

$(n^2-mn-m^2)^2=1\\n^2-mn-m^2=\pm 1\\n^2-mn-(m^2\pm1)=0$

Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $n$

$D = m^2+4(m^2\pm 1) = 5m^2\pm 4$

$\displaystyle n = \frac{m+\sqrt{5m^2\pm4}}{2}$

Второй корень не подходит, так как в любом случае не является натуральным числом. Заметим, что если $5m^2\pm4$ является точным квадратом, то $n$ будет целым числом при любой четности числа $m$. Значит надо найти максимально возможное $m < 2022$, такое что $5m^2+4$ или $5m^2-4$ будет полным квадратом и $n$ также не будет превышать 2022.

Число m является числом Фибоначчи. Непосредственная проверка показывает, что m=987 является максимально возможным числом Фибоначчи, для которого n, сосчитанное по формуле выше не превосходит 2022:

$n =\displaystyle \frac{987+\sqrt{5\cdot987^2+4}}{2}=1597$

Отметим, что n является следующим за 987 числом Фибоначчи.

Итого окончательный ответ:

$n=1597,\ m=987,\ n^2+m^2=3524578$