Question

В игре есть всего 150 уровней
чтобы получить 2 уровень нужно 20 очков опыта
чтобы получить 3 уровень нужно 30 очков опыта
чтобы получить 4 уровень нужно 40 очков опыта
и так дальше +10 на каждый уровень. Сколько нужно очков опыта(в общей суме) чтобы с 45 уровня дойти до 150 уровня? Сколько нужно очков опыта чтобы дойти с 1 уровня до 150

Answer 1

Ответ:

Для того чтобы с 45-ого уровня дойти до 150-ого уровня необходимо 102900 очков.

Для того чтобы с 1-ого уровня дойти до 150-ого уровня необходимо 113240 очков.

Решение:

Введем арифметическую прогрессию, i-ый член которой будет соответствовать количеству очков, необходимому для перехода с i-ого уровня на (i+1)-ый уровень.

Тогда:

$a_1=20;\ a_2=30;\ a_3=40;\ \ldots$

Найдем разность арифметической прогрессии:

$d=a_2-a_1=30-20=10$

Начнем с определения количества очков, необходимого для перехода с 1-ого уровня на 150-ый уровня. Это количество соответствует сумме первых 149 членов арифметической прогрессии, так как последний член $a_{149}$ в этой сумме будет соответствовать количеству очков, необходимому для перехода со 149-ого уровня на 150-ый уровень.

$S_{149}=\dfrac{2a_1+148d}{2}\cdot149 =\dfrac{2\cdot20+148\cdot10}{2}\cdot149 =$

$=\dfrac{40+1480}{2}\cdot149 =\dfrac{1520}{2}\cdot149 =760\cdot149=\boxed{113\ 240}$

Теперь определим количество очков, необходимое для перехода с 45-ого уровня на 150-ый уровень. Это можно сделать следующим образом: сначала найти количество очков, необходимое для перехода с 1-ого уровня на 45-ый уровень, а затем вычесть полученное количество очков из ранее найденного количества очков, необходимого для перехода с 1-ого уровня на 150-ый уровень.

Количество очков, необходимое для перехода с 1-ого уровня на 45-ый уровень, соответствует сумме первых 44 членов арифметической прогрессии (последний член $a_{44}$ в этой сумме соответствует количеству очков, необходимому для перехода с 44-ого уровня на 45-ый уровень):

$S_{44}=\dfrac{2a_1+43d}{2} \cdot44=\dfrac{2\cdot20+43\cdot10}{2} \cdot44=$

$=\dfrac{40+430}{2} \cdot44=\dfrac{470}{2} \cdot44=235\cdot44=10\ 340$

Тогда, количество очков, необходимое для перехода с 45-ого уровня на 150-ый уровень:

$S_{149}-S_{44}=113\ 240-10\ 340=\boxed{102\ 900}$

Элементы теории:

Разность арифметической прогрессии:

$d=a_{n+1}-a_n$

Сумма первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2} \cdot n$