Question

Висоти трикутника ABC перетинаються в точці Н. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника ABC, якщо радіус кола, описаного навколо трикутника АНВ, дорівнює 9 см.

Answer 1

Через вершины ABC проведем параллельные сторонам. Получим четыре равных треугольника - описанные окружности равны. Докажем, что три окружности пересекаются в ортоцентре ABC.

Рассмотрим пару ABC1 и A1BC.

Хорды и дуги A1B и BC1 равны - вписанные углы A1HB и BHC1 равны.

BH - биссектриса и медиана A1HC1, значит и высота, BH⊥A1C1.

BH⊥AC,  BH - высота ABC.

Аналогично в других парах AH и CH - высоты ABC и H - ортоцентр.

Итак, окружность AHB равна окружности ABC, радиус 9.

// Если ABC - прямоугольный, то ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла. Окружности на катетах касаются, но очевидно проходят через ортоцентр.