Question

Знайти площу фігури, обмеженої лініями y= x+2/x-2; x=0; x=-3; y=1
Розв’яжи завдання з обґрунтуванням і поясненням.

Answer 1

Ответ: 8,4 - ln2,5 ед²

Объяснение:

Знайти площу фігури, обмеженої лініями y= x+2/x-2; x=0; x=-3; y=1

В данной задаче будет проще интегрировать через y, поэтому выразим x  в первой функции через y

$y = \dfrac{x+2}{x-2} \\\\\\ y = 1+\dfrac{4}{x-2 } \\\\\\ x=\dfrac{4}{y-1} +2 \\\\\\ x = \dfrac{2y +2}{y-1}$

Находим точки пересечения, с прямой y = 1 пересечения нет, с x = 0

$\dfrac{2y + 2}{y-1} =0 \\\\ 2y + 2 = 0 \Rightarrow y = 1$

C  x = - 3

$\dfrac{2y + 2}{y-1} =- 3\\\\ 2y + 2 = -3y + 3\\\\ 5y = 1 \\\\ y = 0,2$

Получившуюся в результате фигуру, разделим на две, одна из которых красная - S₁, а вторая голубая - S₂

Первая из них ограничена линиями   x = -3, x = 0, y = 1, y = 0,2

$\displaystyle S_1 = \int\limits^1 _{0,2} (0 - (-3))\, dy = \int\limits^1 _{0,2} 3\, dy = 3\cdot y\bigg | ^ 1 _{0,2} = 3(1 - 0,2) = 2,4$

Вторая  $x = \dfrac{2y +2}{y-1}$ , x = -3,  y =-1,  y = 0,2

$\displaystyle S_2 = \int\limits^{0,2} _{-1} \bigg ( \dfrac{2y + 2}{y-1} -(-3) \bigg ) \, dy = \int\limits^{0,2} _{-1} \bigg ( \dfrac{4}{y-1} +2 +3 \bigg ) \; dy = \\\\ =\int\limits^{0,2} _{-1} \dfrac{4}{y-1} d(y-1) + \int\limits^{0,2} _{-1} 5\;dy = 4\cdot (\ln| y -1|) \bigg|^{0,2} _{-1} + 5(0,2 -(-1)) = \\\\\\\ = 4( \ln 0,8 - \ln 2) + 6 = 4\ln \frac{2}{5} +6 = 6 - 4 \ln \frac{5}{2} = 6 - 4\ln 2,5$

Следовательно площадь искомой фигуры равна

$S = S_1 + S_2 = 2,4 + 6 - 4\ln 2,5 = 8,4 - 4\ln 2,5$