Question

Найти частные производные первого порядка второго порядка проверить равенство Найти дифференциалы

Answer 1

Ответ:

Частные производные .

При нахождении производной функции по одной из переменных, вторая считается константой .

$\displaystyle \bf z=arctg\frac{x^3}{y}\\\\\\1)\ \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{1+\dfrac{x^6}{y^2}}\cdot \frac{3x^2}{y}=\frac{3x^2\, y}{x^6+y^2}\ \ \ ,\ \ \ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{1+\dfrac{x^6}{y^2}}\cdot \frac{-x^3}{y^2}=-\frac{x^3}{x^6+y^2}\ ,\\\\\\dz=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot dx+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot dy\\\\\\dz=\frac{3x^2\, y}{x^6+y^2}\, dx-\frac{x^3}{x^6+y^2}\, dy$  

$\bf \displaystyle 2)\ \ \frac{\partial ^2z}{\partial x^2}=\frac{3y\cdot 2x\, (x^6+y^2)-3x^2\, y\cdot 6x^5}{(x^6+y^2)^2}=\frac{6\, x\, y^3-12\, x^7\, y}{(x^6+y^2)^2}\\\\\\\frac{\partial ^2z}{\partial y^2}=-\frac{0-x^3\cdot 2y}{(x^6+y^2)^2}=\frac{2\, x^3\, y}{(x^6+y^2)^2}$  

Проверим равенство смешанных производных .

$\bf \displaystyle \frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}=\frac{3x^2\, (x^6+y^2)-3x^2\, y\cdot 2y}{(x^6+y^2)^2}=\frac{3x^8-3x^2y^2}{(x^6+y^2)^2}\\\\\\\frac{\partial ^2z}{\partial y\partial x}=-\frac{3x^2\, (x^6+y^2)-x^3\cdot 6x^5}{(x^6+y^2)^2}=-\frac{3x^2y^2-3x^8}{(x^6+y^2)^2}=\frac{3x^8-3x^2y^2}{(x^6+y^2)^2}\\\\\\\frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial ^2z}{\partial y\partial x}$  

Дифференциал 2 порядка равен  

$\bf \displaystyle d^2z=\frac{\partial ^2z}{\partial x^2}\, dx^2+2\frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}\, dx\, dy+\frac{\partial ^2z}{\partial y^2}\, dy^2$  .

$\bf \displaystyle d^2z=6\cdot \frac{x\, y^3-2x^7\, y}{(x^6+y^2)^2}\, dx^2+6\cdot \frac{x^8-x^2y^2}{(x^6+y^2)^2}\, dx\, dy+2\cdot \frac{x^3\, y}{(x^6+y^2)^2}\, dy^2$