f(x)=x^3−3x+1
Найдите все точки экстремума этой функции и определите, являются ли они точками максимума или минимума.
Ответы
Ответ:
Для нахождения точек экстремума функции f(x) = x^3 - 3x + 1 необходимо найти её производную и найти значения x, при которых производная равна нулю.
Сначала найдем производную функции f(x):
f'(x) = 3x^2 - 3.
Теперь найдем точки, где производная равна нулю:
3x^2 - 3 = 0.
Решим уравнение:
3x^2 = 3,
x^2 = 1,
x = ±1.
Таким образом, у функции есть две точки экстремума: x = 1 и x = -1.
Чтобы определить, являются ли эти точки максимумом или минимумом, нужно проанализировать знак производной в окрестности этих точек.
- Когда x < -1, производная f'(x) = 3x^2 - 3 > 0, следовательно, функция возрастает и имеет минимум в точке x = -1.
- Когда -1 < x < 1, производная f'(x) = 3x^2 - 3 < 0, следовательно, функция убывает и имеет максимум в точке x = 1.
- Когда x > 1, производная f'(x) = 3x^2 - 3 > 0, следовательно, функция снова возрастает.
Таким образом, точка x = -1 является точкой минимума, а точка x = 1 является точкой максимума для функции f(x) = x^3 - 3x + 1.