Дві вершини трикутника зафіксовано в точках А і в, а третя вершина Х пересувається так, що різниця XA - XB є величиною сталою. Доведіть, що центри кіл, вписаних у трикутники АВХ, лежать на одній прямій.
Ответы
Объяснение:
Для доведення, що центри кіл, вписаних у трикутники АВХ, лежать на одній прямій, ми можемо скористатися властивостями гомотетії та прямокутних трикутників.
Означимо центри вписаних кіл у трикутниках АВХ як I₁, I₂, I₃, де I₁ - центр кола, вписаного у трикутник АВХ, I₂ - центр кола, вписаного у трикутник ВХА, а I₃ - центр кола, вписаного у трикутник ХВА.
Ми знаємо, що різниця XA - XB є сталою величиною. Позначимо її як "d":
XA - XB = d
Ми також можемо використати властивість гомотетії для трикутників АВХ і ВХА. Згідно з властивостями гомотетії, гомотетія з центром в точці Х переводить трикутник АВХ в трикутник ВХА і зберігає відношення сторін:
ХА / АВ = ХВ / ВА
Також, з властивостей гомотетії випливає, що центр гомотетії, точка Х, і центри вписаних кіл у трикутниках АВХ і ВХА (тобто I₁ і I₂) лежать на одній прямій.
Тепер, розглянемо прямокутний трикутник АХВ:
XB² + XA² = AB²
(ХА - d)² + ХА² = AB²
ХА² - 2dХА + d² + ХА² = AB²
2ХА² - 2dХА + d² = AB²
ХА² - dХА + (d² - AB²) = 0
Також розглянемо прямокутний трикутник ВХА:
XA² + XB² = VA²
(ХВ + d)² + ХВ² = VA²
ХВ² + 2dХВ + d² + ХВ² = VA²
2ХВ² + 2dХВ + d² = VA²
ХВ² + dХВ + (d² - VA²) = 0
Враховуючи, що ВА = AV, VA² = AV², ми отримуємо:
ХА² - dХА + (d² - AB²) = 0
ХВ² + dХВ + (d² - AV²) = 0
Зведемо обидва рівняння до однакового вигляду:
ХА² - dХА + (d² - AB²) = 0
ХВ² - dХВ + (d² - AV²) = 0
Тепер візьмемо суму обох рівнянь:
(ХА² - dХА + (d² - AB²)) + (ХВ² - dХВ + (d² - AV²)) = 0 + 0
ХА² + ХВ² - dХА - dХВ + (2d² - AB² - AV²) = 0
ХА² + ХВ² - d(ХА + ХВ) + (2d² - AB² - AV²) = 0
Тепер, з властивостей гомотетії ми знаємо, що ХА / ХВ = ВА / АВ, тобто ХА + ХВ = ВА + АВ. Використовуючи це, рівняння може бути спрощено:
ХА² + ХВ² - 2d(ВА + АВ) + (2d² - AB² - AV²) = 0
ХА² + ХВ² - 2d(ВА + АВ) + 2d² - (AB² + AV²) = 0
ХА² + ХВ² - 2d(ВА + АВ) + 2d² - 2(AB² + AV²) / 2 = 0
ХА² + ХВ² - 2d(ВА + АВ) + 2d² - (AB² + AV²) = 0
(ХА - ВА)² + (ХВ - АВ)² + 2d² - (AB² + AV²) = 0
Таким чином, це рівняння має той самий вигляд, що і рівняння суми квадратів відстаней від точки до точок А і В до точки Х, з додаванням константи 2d² - (AB² + AV²). Це означає, що точка Х лежить на колі з центром у точці, яка має координати (ВА, АВ) і радіусом √(2d² - (AB² + AV²)).
Таким чином, центр кола, вписаного у трикутник ВХА, лежить на колі з центром у точці (ВА, АВ) і радіусом √(2d² - (AB² + AV²)). Оскільки точка (ВА, АВ) також лежить на
колі з центром у точці (АВ, ВА) і радіусом √(2d² - (AB² + AV²)), то центри цих двох колів збігаються.
Отже, центри кіл, вписаних у трикутники АВХ, лежать на одній прямій, яка є перпендикулярною до відрізка І₁І₂, де І₁ і І₂ - центри кіл, вписаних у трикутники АВХ і ВХА, відповідно.