Question

Помогите пожалуйста. Вычислите неопределенный интеграл

Answer 1

Відповідь:Для вычисления данного неопределенного интеграла, давайте разберемся с тем, какие у нас функции в интеграле.

∫(3x^2 - 4x + 2) / (x^3 - 2x^2 + x) dx

Сначала давайте разложим знаменатель x^3 - 2x^2 + x на множители:

x^3 - 2x^2 + x = x(x^2 - 2x + 1) = x(x - 1)(x - 1) = x(x - 1)^2

Теперь выражение для интеграла становится:

∫(3x^2 - 4x + 2) / (x(x - 1)^2) dx

Теперь давайте разложим числитель на сумму дробей:

3x^2 - 4x + 2 = A/x + B/(x - 1) + C/(x - 1)^2

Найдем значения A, B и C. Для этого приведем дроби к общему знаменателю:

A/x + B/(x - 1) + C/(x - 1)^2 = (A(x - 1)^2 + Bx(x - 1) + Cx) / (x(x - 1)^2)

Теперь сравним числитель этой дроби с числителем исходной дроби:

3x^2 - 4x + 2 = A(x - 1)^2 + Bx(x - 1) + Cx

Раскроем скобки:

3x^2 - 4x + 2 = Ax^2 - 2Ax + A + Bx^2 - Bx + Cx

Сгруппируем одинаковые степени x:

(3 + B)x^2 + (-4 - 2A + C)x + (2 + A) = 0

Теперь нужно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x:

3 + B = 0 => B = -3

-4 - 2A + C = -4 => 2A - C = 0 => C = 2A

2 + A = 2 => A = 0

Таким образом, A = 0, B = -3, и C = 6.

Теперь интеграл можно записать в виде:

∫(3x^2 - 4x + 2) / (x(x - 1)^2) dx = ∫(0/x) dx - ∫(3/(x - 1)) dx + ∫(6/(x - 1)^2) dx

Теперь вычислим каждый из интегралов:

∫(0/x) dx = 0, так как это интеграл от константы.

∫(3/(x - 1)) dx = 3 * ln(|x - 1|) + C1, где C1 - произвольная константа.

∫(6/(x - 1)^2) dx = -6 / (x - 1) + C2, где C2 - произвольная константа.

Таким образом, окончательный результат:

∫(3x^2 - 4x + 2) / (x(x - 1)^2) dx = 3 * ln(|x - 1|) - 6 / (x - 1) + C

где C = C1 + C2 - произвольная константа.

Покрокове пояснення: