Question

полусфера с радиусом R вписана в конус наименьшего объема. найдите высоту конуса​

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

Розглянемо осьовий переріз  SAB конуса і півсфери ( т. S - вершина

конуса ) . АВ - діаметр основи конуса , а EF - діаметр півсфери .

Точка  О - центр основи конуса і півсфери .

   Очевидно ΔSOB - прямокутний ; проведемо OD⊥SB ;  OD =  R .

Нехай SO = x , тоді  SD = √( x² - R² ) . За властивістю висоти  прямок.

тр - ника   SO = SD * SB .  Звідси  SB = L = x²/√( x² - R² ) ;

r ² = OB² = L² - x² = x²R²/( x² - R² ) .  Тепер вже об'єм конуса

V( x ) = 1/3 π r ²x = πR²/3 * x²/( x² - R² ) , де  хЄ [ R ; + ∞ ) ;  об'єм  V( x )

залежить від висоти  х конуса . Дослідивши  V( x ) на екстремум ,

одержимо  max V( x ) = V( R√3 ) = √3/2 * πR³ .

                   [R; + ∞)

 Очевидно , висота конуса х  = SO = R√3 .