Question

Квадратное уравнение ax²+bx+c=0 имеет корни 1/12 и -1/7. Найдите модуль разности корней квадратного уравнения cx²+bx+a=0.

Answer 1

Ответ:

Модуль разности корней заданного квадратного уравнения равен 19

Решение:

Рассмотрим первое квадратное уравнение и его корни:

$ax^2+bx+c=0;\ x_1=\dfrac{1}{12} ;\ x_2=-\dfrac{1}{7}$

Воспользовавшись теоремой Виета, найдем:

$-\dfrac{b}{a} =x_1+x_2=\dfrac{1}{12} +\left(-\dfrac{1}{7} \right)=\dfrac{1}{12} -\dfrac{1}{7}=\dfrac{7-12}{12\cdot7} =-\dfrac{5}{84}$

$\dfrac{c}{a} =x_1x_2=\dfrac{1}{12} \cdot\left(-\dfrac{1}{7} \right)=-\dfrac{1\cdot1}{12\cdot7} =-\dfrac{1}{84}$

Рассмотрим второе квадратное уравнение:

$cx^2+bx+a=0$

Сначала выразим модуль разности корней через сумму и произведение корней:

$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2} =\sqrt{x_1^2+x_2^2-2x_1x_2} =$

$=\sqrt{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2-2x_1x_2} =\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$

Используя теорему Виета, выразим сумму и произведение корней второго уравнения через его коэффициенты:

$x_1+x_2=-\dfrac{b}{c}$

$x_1x_2=\dfrac{a}{c}$

Нужные значения можно найти, используя ранее найденные значения -b/a и c/a:

$x_1+x_2=-\dfrac{b}{c}=-\dfrac{b}{a} :\dfrac{c}{a} =-\dfrac{5}{84} :\left(-\dfrac{1}{84} \right)=\dfrac{5}{84} \cdot 84=5$

$x_1x_2=\dfrac{a}{c}=1:\dfrac{c}{a}=1:\left(-\dfrac{1}{84}\right)=1\cdot(-84)=-84$

Подставляем значение в выражение для модуля разности корней:

$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=$

$=\sqrt{5^2-4\cdot(-84)}=\sqrt{25+336}=\sqrt{361} =\boxed{19}$

Элементы теории:

Теорема Виета: Сумма корней квадратного уравнения равна отношению второго коэффициента к старшему коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно отношению свободного члена к старшему коэффициенту.

То есть, для уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$\begin{cases} x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} \\ x_1x_2=\dfrac{c}{a} \end{cases}$