2. Доведiть, шо (x² + y²+z2)²=2(x+y+z), якшo x + y + z = 0
Ответы
Відповідь:
Покрокове пояснення:
Почнемо з квадрату виразу x + y + z = 0:
(x + y + z)² = 0²
Розкриємо квадрат на лівій стороні:
x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz = 0
Тепер, давайте використаємо інформацію, яку нам дано в умові, а саме x + y + z = 0. Замінимо x + y + z на 0 у виразі вище:
x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz = 0
Також, з умови x + y + z = 0 можна виділити один змінний за допомогою заміни:
x = -(y + z)
Тепер підставимо це значення x у вираз з пункту 4:
(y + z)² + y² + z² + 2(-y)(y + z) + 2(-z)(y + z) = 0
Розкриємо квадрати і спростимо:
y² + 2yz + z² + y² + z² - 2y² - 2yz - 2yz - 2z² = 0
Залишимо лише один член у виразі:
2(y² + z²) - 2(y² + z²) = 0
Виділимо двійки та знак мінус:
2(y² + z²) = 2(y² + z²)
Тепер ми отримали рівність двох виразів 2(y² + z²). Це означає, що вираз (y² + z²) належить обидвом сторонам рівняння.
Отже, (y² + z²)² = 2(y² + z²)
Залишилося довести, що (x² + y² + z²)² теж рівне 2(x + y + z). Згадаймо, що ми маємо умову, x + y + z = 0, і можемо використати її:
(x² + y² + z²)² = 2(x + y + z)
Тепер, замінюючи x + y + z на 0:
(x² + y² + z²)² = 2(0)
(x² + y² + z²)² = 0
Це означає, що (x² + y² + z²)² = 2(x + y + z), коли x + y + z = 0.
Таким чином, ми довели твердження.