В герметичном сосуде сверху находится жидкость с плотностью ρ0 = 800 кг/м3
, отделённая
легким подвижным поршнем от газа (см. рисунок), находящегося внизу и имеющего давление p =
20 кПа. В поршне есть круглое отверстие, в которое вставлен цилиндрический поплавок, причём в
жидкость поплавок погружён на некоторую длину h, а в газ — на длину 3h. Площадь основания
поплавка S. Поплавок может свободно скользить относительно поршня, а поршень — относительно
стенок сосуда. Жидкость нигде не подтекает. Какой должна быть плотность поплавка ρ, чтобы
система могла оставаться в равновесии?
Ответы
Для того щоб система знаходилась у рівновазі, сила тиску на поршень з обох сторін має бути рівною. Визначимо цю силу тиску.
Сила тиску від газу на поршень:
F_газ = p * S
Сила тиску від жидкості на поршень:
F_жидкість = ρ_0 * g * h * S
де:
p - тиск газу, 20 кПа (кілопаскаль);
S - площа основи поплавка;
ρ_0 - плотність жидкості, 800 кг/м³;
g - прискорення вільного падіння, приблизно 9,81 м/с²;
h - довжина погруження поплавка у жидкість.
Оскільки система знаходиться у рівновазі, сили тиску повинні бути рівними:
F_газ = F_жидкість
Також маємо зв'язок між плотністю поплавка та плотністю жидкості, коли поплавок плаває:
ρ_0 * h * S = ρ * 3h * S
Скоротимо S на обох сторонах рівняння:
ρ_0 * h = 3ρ * h
Розділимо обидві сторони на h:
ρ_0 = 3ρ
Таким чином, плотність поплавка повинна бути однією третиною плотності жидкості:
ρ = ρ_0 / 3
Підставимо дані і знайдемо плотність поплавка:
ρ = 800 кг/м³ / 3 ≈ 266.67 кг/м³
Отже, плотність поплавка повинна бути близькою до 266.67 кг/м³, щоб система знаходилась у рівновазі.