Question

Вычислить двух кратный интеграл в области D.

Answer 1

Вычислите двухкратный интеграл в области D

$\displaystyle \iint\limits_D(x+y) \, dx dy ~, ~ D --- y = x^2 - 1 ~ , ~ y =-x^2 + 1$

Найдем точки пересечения

x² - 1 = -x² + 1

2x² = 2

x = ± 1

Соответственно :

$D = \Big \{(x,y) \big | -1\leqslant x \leqslant1 ~ ; ~ x^2 - 1\leqslant y \leqslant -x^2 + 1 \Big \}$

$\displaystyle \iint\limits_D(x+y) \, dx dy = \int\limits ^{1}_{-1}\, dx \int \limits _{x^2-1} ^{-x^2 +1}(x+y) dy = \int\limits ^{1}_{-1} \bigg (xy+ \frac{y^2}{2} \bigg)\Bigg |_{x^2-1} ^{-x^2 +1} \, dx = \\\\\\ =\int\limits ^{1}_{-1} \Bigg (x(-x^2 +1)+ \frac{(-x^2 +1)^2}{2} - \bigg ( x(x^2 -1)+ \frac{(x^2 -1)^2}{2} \bigg) \Bigg) \, dx = \\\\\\ =\int\limits ^{1}_{-1} (-x^3 +x -x^3 -x)dx = \int\limits ^{1}_{-1} -2x^3 dx = -\frac{x^4}{2} \Bigg |^1_{-1} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2 } = 0$