Question

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C произведены высота CH и медиана CM. Круг, вписанный в треугольник MCH, касается сторон CM и CH в точках E и F. Прямая EF пересекает катеты треугольника ABC в точках P и Q. Докажите, что треугольник PCQ — равнобедренный.

Answer 1

Ответ:

треугольник PCQ — равнобедренный

Пошаговое объяснение:

1. $\Delta AHC$  - прямоугольный треугольник

$\angle AHC=90^o\\\angle HCA=90^o-\alpha$

2. $\Delta MBC$  - равнобедренный треугольник

$MB=CM\\\angle MBC=\angle BCM=90^o-\alpha$

3. $\Delta FOC,\ \Delta OEC$

$OC=OC\\OF=OE=r$

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника

соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного

треугольника, то такие треугольники равны.

$FC=EC$

4. $\Delta FEC$  - равнобедренный треугольник

$\angle FEC=\angle CFE$

так что

$\angle QFC=\angle CEP$

5. $\Delta QFC, \ \Delta EPC$

$\angle QCF=\angle PCE=90^o-\alpha\\FC=EC\\\angle QFC=\angle CEP$

таким образом треугольник QFC равен треугольнику EPC

$CQ=PC$

PCQ  - равнобедренный треугольник