Question

Решите уравнение пожалуйста 25 баллов

Answer 1

Ответ:

$\left [ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi n}{3} \\\\ x = (-1)^{n+1} \cdot \dfrac{\pi }{9} + \dfrac{\pi n}{3} ~ , ~ n \in \mathbb Z\end{array}$

Пошаговое объяснение:

Решите уравнение

$64 \cos ^7 3x + \cos 6x = - 1 \\\\ 64 \cos ^7 3x + \cos 6x + 1= 0$

По формуле половинного угла

$\cos ^2\alpha = \dfrac{1+\cos 2\alpha }{2} \Rightarrow \\\\\ \cos ^2 3x = \dfrac{1+\cos 6x}{2} \\\\ \boxed{2\cos^23x = 1 + \cos 6x}$

Следовательно

$64 \cos ^7 3x + 2\cos^2 3x = 0 \\\\ 2\cos ^2 3x (32 \cos ^5 3x + 1) = 0$

$\left [ \begin{array}{l}\cos ^2 3x = 0 \\\\ 32\cos ^53x + 1 =0 \end{array} \Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}3x = \pi n \\\\ \cos^ 53x = -\dfrac{1}{32} \end{array} \Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi n}{3} \\\\ \cos3x = -\dfrac{1}{2} \end{array}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi n}{3} \\\\ 3x = (-1)^n \cdot \bigg(-\dfrac{\pi }{3} \bigg) + \pi n\end{array}\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi n}{3} \\\\ x = (-1)^{n+1} \cdot \dfrac{\pi }{9} + \dfrac{\pi n}{3} ~ , ~ n \in \mathbb Z\end{array}$