Question

Найти корни уравнения ​

Answer 1

Ответ: x = 1

Пошаговое объяснение:

Найти корни уравнения
|x² + 7x + 10| = |x² + 2x + 5| + |x +9|

Рассмотрим квадратное уравнение, находящиеся в правой части

x² + 2x + 5 = 0

D = 4 - 20 < 0  ⇒ оно положительно при любых действительных значениях  x - са,  а значит модуль мы можем убрать

|x² + 7x + 10| = x² + 2x + 5 + |x +9|

Переносим модули в одну сторону

|x² + 7x + 10| - |x +9| = x² + 2x + 5

Найдем нули модулей

x² + 7x + 10 = 0

По теореме Виета

x₁ = -2 , x₂ = -5  ⇒ x² + 7x + 10 = (x +2)(x+5)

x + 9 = 0 ⇒ x = -9

Отображаем данные точки  на прямой

$\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(0.915,-0.2) {\sf -9} \put(0.3 ,0.09){ \Large \sf I } \put(1.3 ,0.09){ \Large \sf II } \put(2.38 ,0.09){ \Large \sf III } \put(1,0) {\line(0,2){0.3}} \put(1,0.3) {\line(1,0){3}} \put(1.95,-0.2) {\sf -5} \put(2.05,0) {\line(0,2){0.3}} \put(1,0.3) {\line(-1,0){1} } \ \put(0,0){\vector (1,0){4}} \put(3.01,0) {\line(0,3){0.3}}\put(2.93,-0.2) {\sf -2} \put(3.3 ,0.09){ \Large \sf IV } \end{picture}$

+                            +                         —                      +                (x+2)(x+5)

  —                          +                         +                      +                 x + 9

I) x ∈ ( - ∞ ; - 9)

x² + 7x + 10  + x + 9 = x² + 2x + 5

8x + 19 = 2x + 5

6x = -14

$x = -2\dfrac{1}{3}\notin (- \infty ~ ; ~ -9 )$

II) x ∈ [- 9  ;  -5)

x² + 7x + 10  - x -  9 = x² + 2x + 5

6x + 1 = 2x + 5

4x = 4

x = 1  ∉ [- 9  ;  -5)

III) x ∈ [ -5  ;  -2)

-(x² + 7x + 10) - (x+ 9) = x² + 2x + 5

-x² -8x - 19 = x² + 2x + 5

2x² + 10x + 24 = 0 | : 2

x² + 5x + 12 = 0

D = 25 - 48 < 0 ⇒ x ∉ R

IV)  x ∈ [ -2  ;  ∞)

x² + 7x + 10  - x -  9 = x² + 2x + 5

x = 1  ∈ [- 2  ;  ∞) $\checkmark$

По итогу уравнение имеет один корень  x = 1