Question

19. Найдите диапазон значений функции y = 4cos^3 (2x) + sin^2 (2x).

Answer 1

$y=4\cos^32x+\sin^22x=4\cos^32x-\cos^22x+1$

Пусть $\cos2x=t$, причем $|t|\leq 1$. Получаем $y(t)=4t^3-t^2+1$. Исследуем функцию на экстремум.

$y'(t)=12t^2-2t=0$

$2t(6t-1)=0$

$t_1=0$

$t_2=\dfrac{1}{6}$

Найдем наибольшее и наименьшее значение на концах отрезка

y(-1) = -4 — наименьшее

y(0) = 1

y(1/6) = 107/108

y(1) = 4 — наибольшее

Т.е. функция достигает наименьшего значения при cos 2x = -1, а при cos 2x = 1 — наибольшее значение. Откуда область значений функции E(y) = [-4;4]