Предмет: Алгебра, автор: mitzuki058

доказать по определению что число не является пределом последовательности хn если
x_n=(-1)^n \\a=-1\\


antonovm: вы решили другую задачу , почти такую же , но другую
polarkat: Хорошо, область значения синуса от -1 до 1, я к синусу прибавляю единицу и получаю от 0 до 2... Всё кардинально поменялось...
antonovm: все ваши рассуждения верные , но вот зачем надо было рассматривать другую последовательность я не понимаю
polarkat: Дык я никакую другую последовательность не рассматривал, я её просто на единицу поднял. Я в стрел, что у студентов на первом курсе такая проблема: им сложно пока что воспринимать эти скачи с отрицательными числами и работу с ними, лучше перейти на положительные и наглядно показать на плоскости, что смотрите, при таких-то n, последовательность то 0, то 2 и так и будет скакать
antonovm: а зачем вообще делать эти скачки ?
antonovm: пднимать её на 1 ?
polarkat: На плоскости? Это для иллюстрации, чтобы наглядно показать, что происходит с последовательностью
polarkat: Добавил и четвёртый способ, как ознакомление
antonovm: если автору вопроса всё понятно , а судя по реакции это так , значит всё в порядке
mitzuki058: я поняла,спасибо вам обоим

Ответы

Автор ответа: polarkat
1

Первое способ

Обратите внимание, что $(-1)^n$ равно $1$ для четных $n$ и $-1$ для нечетных $n$. Значит, $1 + (-1)^n$ равно $2$ для четных $n$ и $1$ для нечетных $n$. Следовательно, если $a_n = 1 + (-1)^n$, то $a_{2n} = 2$ и $a_{2n+1} = 0$. Поскольку подпоследовательности имеют разные пределы ($\lim a_{2n} = 2$ и $\lim a_{2n+1} = 0$), предел $ \lim a_n$ не существует

Второй способ

Поскольку последовательность принимает только два значения $0$ и $2$, можно заметить, что любое значение, кроме этих двух, не может быть пределом. Предполагая $l=0$ и беря $\varepsilon < 2$, мы видим, что предел не может существовать, так как $|x_n-x_{n+1}|=2 > \varepsilon$. Аналогично для $l=2$

Третий способ

$(-1)^n=e^{i\pi n}=\cos(n\pi)+i\sin(n\pi)$

Можно видеть, что пределы $\lim_{n\to\infty} \cos(n\pi)$ и $\lim_{n\to\infty}i\sin(n\pi)$ принимают разные значения, а значит предел от нашей последовательности не существует

Четвёртый способ

Давайте от последовательности уйдём к функциям, то есть немного расширим наши возможности. Предполагая, что мы хотим работать с действительными числами, мы можем сказать, что область определения функции — это множество

$\left\{x\in\mathbb{Q}:x=\frac{r}{s}, s > 0, \text{$s$ odd}\right\}$

Это довольно большое множество, и оно содержит все натуральные числа; однако

$\lim_{n\to\infty}(-1)^{2n}=1,\qquad\lim_{n\to\infty}(-1)^{2n+1}=-1,$

Видим, что получаем два разных предела, при чётных n и нечётных, а значит предела не существует


mitzuki058: спасибо
Похожие вопросы
Предмет: География, автор: vammaartem
Предмет: Алгебра, автор: Valerich2
Предмет: Алгебра, автор: jamalvaliev24