Question

Выберем произвольно n вершин правильного 2n-угольника и покрасим их в красный цвет. Остальные вершины окрашены в синий цвет. Расставляем все красно-красные расстояния в неубывающую последовательность и делаем то же самое с сине-синими расстояниями. Докажите, что последовательности равны.

Answer 1

Пронумеруем вершины от $0$ до $2n-1$, пусть $R\sqcup B$ их разбиение на красные и синие. Пусть $f=\sum_{r\in R} x^r$ и $g=\sum_{b\in B}x^b$. По гипотезе $f+g=x^{2n-1}+...+1$ и $f(1)=g(1)$, поэтому $|f(z)|=|g(z)|$ для всех $z^{2n}=1$

Пусть теперь $r_k,b_k$ обозначает количество пар красных и, соответственно, синих вершин, находящихся на расстоянии $k$ единиц друг от друга, движущихся по ребрам многоугольника. Легко видеть, что $\sum_{k=0}^{2n-1}r_kz^k=f(z)f(\overline z)=|f(z)|^2$ и $\sum_{k=0}^{2n-1}b_kz^k=|g(z)|^2$ для всех $z^{2n}=1$. Следовательно, $\sum_{k=0}^{2n-1}(r_k-b_k)z^k=|f(z)|^2-|g(z)|^2=0$ для всех таких $z$, поэтому многочлен в левой части исчезает. Значит, $r_k=b_k$