Question

решите то что на фото

Answer 1

Сначала вычислим неопределённый интеграл, сделав подстановку $u=\sqrt{x+1}$

$\int 2u^4e^{1-u^2}du$

Интегрируем по частям

$f=u^3\Rightarrow f'=3u^2, \; g'=\frac{u}{e^{u^2}}\Rightarrow g=-\frac{1}{2e^{u^2}}$

тогда получаем

$2\,e\left(-\dfrac{{u}^{3}}{2\,{e}^{{u}^{2}}}+\int{\dfrac{3\,{u}^{2}}{2\,{e}^{{u}^{2}}}}{\;du}\right)$

Но это в чистом виде определение функций ошибок Гаусса, то есть

$I=\dfrac{3\,\sqrt{\pi}\,e\,\mathrm{erf}\left(u\right)}{4}+\dfrac{-2\,e\,{u}^{3}-3\,e\,u}{2\,{e}^{{u}^{2}}}+C=\dfrac{3\,\sqrt{\pi}\,e\,\mathrm{erf}\left(\sqrt{x+1}\right)}{4}-\dfrac{\sqrt{x+1}\,\left(2\,x+5\right)}{2\,{e}^{x}}+C$

А значит

$J=\int\limits_{0}^{1}(1+x)^{3/2}e^{-x}dx=\dfrac{\sqrt{\pi}\,\left(3\,\sqrt{2}\,{e}^{2}\,\mathrm{erf}\left(\sqrt{2}\right)-3\,\sqrt{2}\,{e}^{2}\,\mathrm{erf}\left(1\right)\right)}{4\,\sqrt{2}\,e}-\dfrac{7}{\sqrt{2}\,e}+\dfrac{5}{2}$

где можно функцию ошибок Гаусса выразить через гамма-функцию, то есть

$J=e\left ( \Gamma \left ( \frac{5}{2},1 \right )-\Gamma \left ( \frac{5}{2},2 \right ) \right )$