Question

решите неравенство пожалуйста,заранее спасибо ​

Answer 1

Ответ:

$x\in \left[-\frac{\sqrt{161}}{4};-\sqrt7 \right] \cup \left[\sqrt7;\frac{\sqrt{161}}{4} \right]$

Пошаговое объяснение:

$\sqrt{x^2-7}+\sqrt{x^2-5}+\sqrt{x^4-12x^2+35} \le 18-x^2$

1.

$x^4-12x^2+35=x^4-5x^2-7x^2+35=x^2(x^2-5)-7(x^2-5)=(x^2-5)(x^2-7)$

2.

ОДЗ:

$\begin{cases}x^2-7 \ge 0\\x^2-5 \ge 0\\(x^2-5)(x^2-7) \ge 0\end{cases}$

$\begin{cases}(x-\sqrt7)(x+\sqrt7) \ge 0\\(x-\sqrt5)(x+\sqrt5) \ge 0\\(x-\sqrt5)(x+\sqrt5)(x-\sqrt7)(x+\sqrt7) \ge 0\end{cases}$

$\begin{cases}x\in \left( -\infty;-\sqrt7\right] \cup \left[\sqrt7;+\infty \right)\\x\in \left( -\infty;-\sqrt5\right] \cup \left[\sqrt5;+\infty \right)\\ x\in\left( -\infty;-\sqrt7\right] \cup \left[-\sqrt5;\sqrt5 \right] \cup\left[\sqrt7;+\infty \right)\end{cases}$

$x\in \left( -\infty;-\sqrt7\right] \cup \left[\sqrt7;+\infty \right)$

3.

$\sqrt{x^2-7}+\sqrt{x^2-5}+\sqrt{(x^2-5)(x^2-7)} \le 18-x^2$

пусть

$x^2-7=t,\ t \ge 0$

$x^2=t+7$

$\sqrt{t}+\sqrt{t+2}+\sqrt{t(t+2)}\le 18-t-7$

$\sqrt{t}+\sqrt{t+2}+\sqrt{t(t+2)}\le 11-t$

-----------------

$\sqrt{t}+\sqrt{t+2}+\sqrt{t(t+2)}\ge 0$

так что

$11-t \ge 0$

-----------------

$\sqrt{t+2}+\sqrt{t(t+2)}\le (11-t)-\sqrt t\ \ \ |()^2$

$t+2+2\sqrt{t+2}\cdot\sqrt{t(t+2)}+t(t+2) \le (11-t)^2-2(11-t)\sqrt t+t$

$t+2+2(t+2)\sqrt t+t^2+2t \le 121-22t+t^2-22\sqrt t+2t\sqrt t+t$

$t+2+2t\sqrt t+4\sqrt t+t^2+2t -121+22t-t^2+22\sqrt t-2t\sqrt t-t \le 0$

$24t+26\sqrt t -119 \le 0$

4.

пусть

$\sqrt t=m,\ m \ge 0$

$t=m^2$

$24m^2+26m-119\le0$

$D=26^2-4\cdot24\cdot(-119)=676+11424=12100$

$\sqrt D=\sqrt{12100}=110$

$m_1=\frac{-26-110}{2\cdot24}=\frac{-136}{48}=-\frac{17}{6}$

$m_2=\frac{-26+110}{2\cdot24}=\frac{84}{48}=\frac{7}{4}$

$m\in \left[-\frac{17}{6};\frac{7}{4}\right]$

oднако $m \ge 0$

так что

$m\in \left[0;\frac{7}{4}\right]$

5.

$\sqrt t=m$

$\sqrt t\in \left[0;\frac{7}{4}\right]$

$\begin{cases}\sqrt t \ge 0\\ \sqrt t \le \frac{7}{4}\end{cases}$

$\begin{cases}t\in\left[ 0;+\infty\right) \\ t\in\left(-\infty; \frac{49}{16}\right] \end{cases}$

$t\in \left[0;\frac{49}{16}\right]$

6.

$x^2=t+7$

$x^2\in\left[0+7;\frac{49}{16}+7\right]$

$x^2\in\left[7;\frac{161}{16}\right]$

$\begin{cases}x^2 \ge 7\\x^2 \le\frac{161}{16}\end{cases}$

$\begin{cases}x^2-7 \ge 0\\x^2-\frac{161}{16} \le 0\end{cases}$

$\begin{cases}(x-\sqrt7)(x+\sqrt7) \ge 0\\ \left(x-\sqrt{\frac{161}{16}}\right)\left( x+\sqrt{\frac{161}{16}}\right)\le0\end{cases}$

$\begin{cases}x\in \left( -\infty;-\sqrt7\right] \cup \left[\sqrt7;+\infty \right)\\x\in \left[-\frac{\sqrt{161}}{4};\frac{\sqrt{161}}{4} \right] \end{cases}$

$x\in \left[-\frac{\sqrt{161}}{4};-\sqrt7 \right] \cup \left[\sqrt7;\frac{\sqrt{161}}{4} \right]$