Предмет: Геометрия, автор: itachkaone2005

В правильной четырехугольной пирамиде отношение площади боковой грани к площади основания равна 3. Чему равна отношение радиуса шара,описанного около этой пирамиды к радиусу шара, вписанного в нее?​


siestarjoki: 145/22

Ответы

Автор ответа: dnepr1
1

Ответ: 5/2.

Объяснение:

                                                                                                                                         

Теорема

Площадь ортогональной проекции выпуклого многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостями многоугольника и его проекции.

Пусть сторона основания равна а.

На основе задания находим косинус угла между боковыми гранями и основанием.

cos φ = OK/SK = 1/3. Так как ОК = а/2, то апофема SK = (а/2) / (1/3) = 3а/2.

Радиус r  вписанной сферы находится на пересечении биссектрисы угла φ с высотой пирамиды.

Радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду с высотой   h   и ребром основания   a, равен

Высота пирамиды h равна:

h = SO = SK*sin φ = (3a/2)*√(1 – (1/3)²) = (3a/2)*( √8/3) = a√8/2.

Тогда радиус r = (a*(a√8/2)/(а + √(a² + 4*(a√8/2)²)) =

= (a²√8/2)/( а + √(a² + 4*(a²*8/4))) = (a²√8/2)/( а + √(a² + (a²*8))) =

= (a²√8/2)/( а + √(a² + (a²*8))) = а√8/8.

Центр описанной окружности находится на пересечении перпендикуляра из середины бокового ребра с высотой пирамиды.

Радиус (R) описанной сферы/шара вычисляется следующим образом:

Подставим данные: h = SO = a√8/2.

R = (2*( a√8/2)² + a²)/(4*(a√8/2)) = ((2a²*8/4) + a²)/(2a√8) = 5a²/(2a√8) =

  = 5a√8/16.

Искомое отношение радиуса шара, описанного около этой пирамиды к радиусу шара, вписанного в нее, составляет (5a√8/16)/( а√8/8) = 5/2.

Полное решение с рисунком дано во вложении.

Приложения:

siestarjoki: боковая грань падает на четверть основания, cos=1/12
dnepr1: Это НЕВЕРНО!!! Ведь за 1 взята площадь всего основания. Если брать одну боковую грань, то и её проекция - это (1/4) площади основания.
siestarjoki: основание 1, боковая грань 3, ее проекция 1/4. cos= 1/4 : 3 =1/12
Автор ответа: siestarjoki
2

Описанная сфера имеет радиус описанной окружности ASC

Вписанная сфера имеет радиус вписанной окружности MSN

(SM, SN -апофемы; вписанная сфера касается апофем)

SM=a, MA=MH=b

SA^2 =a^2+b^2

SH^2 =a^2-b^2

△ASC:

PO -серпер SA

SO/SP =SA/SH => SO =SA^2/2SH =R

△MSN:

MI -биссектриса

SI/IH =SM/MH =a/b => IH =SH b/(a+b) =r

R/r =SA^2/SH^2 *(a+b)/2b =(a^2+b^2)/(a-b)2b

Пусть b=1

Sосн =(2b)^2 =4

Sбокграни =4*3 =12 =2ba/2 => a=12

R/r =(144+1)/11*2 =145/22

Приложения:
Похожие вопросы
Предмет: Другие предметы, автор: sofia11english