Question

Помогите пожалуйста.
В классе из 16 студентов есть 8 мужчин и 8 женщин. Согласно статистике, вероятность того, что женщина придет на занятия
80%, а мужчина – 60%. Если студент не придет сегодня на занятие, он получит 1, а если придет то 5. Какая
вероятность того, что средний балл будет 4? Ответ округлите до целых. Правильный ответ 16%. Но как к нему придти?

Answer 1

Ответ:

21%

Пошаговое объяснение:

Пусть на занятие пришло x мужчин и y женщин. Тогда их средний балл равен:

$\dfrac{5x+5y+(8-x)+(8-y)}{16}=\dfrac{4x+4y+16}{16}=\dfrac{x+y+4}{4}$

Рассмотрим, когда их средний балл равен 4:

$\dfrac{x+y+4}{4}=4\Leftrightarrow x+y+4=16\Leftrightarrow y=12-x$

Таким образом, средний балл студентов равен 4, когда пришло x мужчин и 12-x женщин. Учитывая, что x и y — это целые числа от 0 до 8, такая ситуация возможна, когда:

• x = 4, y = 8
• x = 5, y = 7
• x = 6, y = 6
• x = 7, y = 5
• x = 8, y = 4

Эти ситуации — несовместные события, значит, достаточно посчитать вероятность каждого из них и их сложить.

Вероятность прихода x мужчин можно посчитать по схеме Бернулли, так как каждый из них приходит независимо друг от друга:

$P(X)=C^x_8\cdot 0{,}6^x\cdot 0{,}4^{8-x}$

Аналогично вероятность приходу y = 12 - x женщин можно посчитать по схеме Бернулли:

$P(Y)=C^{12-x}_8\cdot 0{,}8^{12-x}\cdot 0{,}2^{x-4}$

Это вероятности независимых друг от друга событий, поэтому при вычислении прихода x мужчин и y женщин их можно просто перемножить. Таким образом, вероятность искомого события равна:

$\displaystyle \sum_{x=4}^8 C^x_8\cdot C^{12-x}_8\cdot 0{,}6^x\cdot 0{,}8^{12-x}\cdot 0{,}4^{8-x}\cdot 0{,}2^{x-4}\approx 0{,}207\approx 21\%$