Question

Решите неравенство .....

Answer 1

После того, как мы привели дроби к общему знаменателю, то всю дробь сравниваем с числителем

$\cfrac{2^{x+1}(2x-3)+11-4x}{(x-1)(3-2x)} < 0$

Попробуем оценить числитель

$x\geq \frac32\Rightarrow 2^x > 1+x\ln2 > 1+\frac12x\\2^{x+1}(2x-3)+11-4x > 2\left (1+\frac12x \right )(2x-3)+11-4x=2x^2-3x+5 > 0\\\\0 < x < \frac32\Rightarrow 2^x < 1+\dfrac{2^{3/2}-1}{\frac32}x < 1+\frac32x\\2^{x+1}(2x-3)+11-4x > 2\left (1+\frac32x \right )(2x-3)+11-4x=6x^2-9x+5 > 0\\\\x\le 0\Rightarrow 2^x\le1\\2^{x+1}(2x-3)+11-4x > 2(2x-3)+11-4x=5 > 0$

Вот мы и доказали, что числитель больше нуля, значит на него спокойно можно поделить и получаем

$\cfrac{1}{(x-1)(3-2x)} < 0\Rightarrow x\in\left ( -\infty ,1 \right )\cup \left ( \cfrac{3}{2},\infty \right )$