Question

Доказать что число a не является пределом последовательности xn,если:
$xn = \frac{2 - \cos(n\pi) }{2 + \cos(n\pi) } \\ a = 3$
​

Answer 1

$\lim\limits_{n\to \infty}x_n = a \Leftrightarrow \left \{ \forall \varepsilon > 0, \; \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N : |x_n - a| < \varepsilon \right \}$

Чтобы последовательность не имела предела, мы должны выполнить следующее

$\{\exists \varepsilon > 0, \forall N \in \mathbb N, \exists n > N: |x_n - a| \ge \varepsilon\}$

Так как $n \in \mathbb N$, то для $k\in\mathbb N$

$\begin{equation*} |x_n| = \begin{cases} 3, & n=2k -1, \\ {1\over 3}, & n = 2k \end{cases} \end{equation*}$

Теперь возьмем, к примеру, $\varepsilon = 1$. С этим $\varepsilon$ для любого $N$ мы можем найти бесконечно много $n$ таких, что $n > N \\text{and}\ |x_n -3| \ge 1$. Следовательно, последовательность не имеет предела

Определение предела основано на нахождении произвольного $\varepsilon > 0$, но сколь угодно малого, по существу "достигающего" нуля, таким образом, $x_n \to a$. Поскольку мы нашли $\varepsilon > 0$ такое, что последовательность не сходится ( $|x_n - a | \geq \epsilon$), то последовательность действительно не имеет предела