Question

Доказать ограниченность последовательности:
$\frac{1 - n}{ \sqrt{1 + {n}^{2} } }$
​

Answer 1

Сначала рассмотрим производную от функции $f(x) = \frac{1-x}{\sqrt{1+x^2}}$, то есть

$f'(x) = \frac{\left(1-x\right)'_{x}\cdot \sqrt{{x}^{2}+1}-\left(\sqrt{{x}^{2}+1}\right)'\cdot \left(1-x\right)}{{x}^{2}+1}=\\=\frac{\left(-\left(x\right)'+\left(1\right)'\right)\cdot \sqrt{{x}^{2}+1}-\dfrac{1-x}{2\,\sqrt{{x}^{2}+1}}\cdot \left({x}^{2}+1\right)'}{{x}^{2}+1}=-\dfrac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}-\dfrac{\left(1-x\right)\,x}{\left({{x}^{2}+1}\right)^{{3/2}}}$

Очевидно, что когда $x \geq 1$, то $f'(x) \leq 0$, поэтому $\left \{ a_n \right \}$убывает

Рассмотрим

$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{1-x}{\sqrt{1+x^2}} = \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac1x-1}{\sqrt{\frac1{x^2}+1}} = -1$

А значит $a_n > -1$, следовательно, $-1 < a_n \leq 0$ ограничена

Answer 2

Ответ:

...................................................

Объяснение: